Wie berechnet man noch mal komplexe Eigenvektoren (5x5 Matrix)?

Question

Matrix: 
| 0 1 0 0 0 | | 0 0 1 0 0 || 0 0 0 1 0 || 0 0 0 0 1 || 1 0 0 0 0 |
Wie berechnet man die komplexen Eigenwerte und Eigenvektoren dieser Matrix?

Answer 1

  0 1 0 0 0 |
 |0 0 1 0 0 |
| 0 0 0 1 0 |
| 0 0 0 0 1 |
| 1 0 0 0 0 |


char. Polynom ist  1 - x⁵

und die komplexen Nullstellen , also die Eigfenwerte,

sind die 5. Einheitswurzeln:

1

cos(2pi/5)+i*sin(2pi/5) = (-1+√5 )/4  + i*( √ 2 * ( 5+√5 ) )  /4

cos(4pi/5)+i*sin(4pi/5)

cos(6pi/5)+i*sin(6pi/5)

cos(8pi/5)+i*sin(8pi/5)

Comments

Danke für die Antwort. 

Eine weitere Frage dazu: Wie berechne ich die Komplexen Eigenvektoren?

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Gleichungssystem

Matrix  - Eigenwert * Einheitsmatrix = 0 lösen.

Also bei Eigenwert 1

 -1  1 0 0 0 |
 |0 -1 1 0 0 |
| 0 0 -1 1 0 |
| 0 0 0 -1 1 |
| 1 0 0 -1 0 |     5. Zeile + erste 

 -1  1 0 0 0 |
 |0 -1 1 0 0 |
| 0 0 -1 1 0 |
| 0 0 0 -1 1 |
| 0 1 0 -1 0 |    5. Zeile + zweite


 -1  1 0 0 0 |
 |0 -1 1 0 0 |
| 0 0 -1 1 0 |
| 0 0 0 -1 1 |
| 0 0 1 -1 0 |    5. Zeile + dritte


 -1  1 0 0 0 |
 |0 -1 1 0 0 |
| 0 0 -1 1 0 |
| 0 0 0 -1 1 |
| 0 0  0  0 0 |    also x5 frei wählbar x5 = t

Dann in die vorletzte Gleichung gibt  x4 = t  dann in die drittletzte etc

Also Lösungsmenge  sind alle Vektoren von der Form

( t ; t ; t; t ; t ; t )  =   t* (1;1;1;1;1)  mit t aus C .  Das sind alle Eigenvektoren

zum Eigenwert 1, Basis des Eigenraumes ist also (1;1;1;1;1)