Matrix zu Eigenvektoren und Eigenvalues finden (complex)

Question

Wie finden wir aus gegebenen Eigenwerten

λ₁=  3 + i

λ₂= 3 - i

und Eigenvektoren

v₁= (1 + i, -1)

v₂= (1 − i, -1)

eine Matrix A ∈ ℂ^2x2?

Answer 1

Berechne mal erst die Bilder der Eigenvektoren, also

λ1 * v1 = ( 2+4i  ;  -3-i )


λ2 * v2 = ( 2-4i  ;  -3+i )

Dann denkst du dir die Matrix A =

a  b
c  d

und rechnest

A * v1 =( a (1+i) - b ;   (1+i)*c - d )  

A * v2 =( a (1-i) - b ;   (1-i)*c - d )   

also muss ja gelten

( a (1+i) - b ;   (1+i)*c - d )    =   ( 2+4i  ;  -3-i )
( a (1-i) - b ;   (1-i)*c - d )    =   ( 2-4i  ;  -3+i )

Das gibt 4 Gleichungen für a bis d und ergibt dann

a=4  b=2   c=-1   d= 2 , also  

A =

4      2
-1    2