Unendliche Menge injektive Abbildung

Question

Warum ist folgende Behauptung wahr?
Eine Menge M ist unendlich, wenn es eine injektive Abbildung von M in eine echte Teilmenge von M gibt.

Comments

Mache das indirekt:

Annahme: Es gibt eine endliche Menge M und eine injektive Abbildung von M -> N, wobei N eine echte Teilmenge von M ist.

Nun konstruierst du einen Widerspruch.

Übrigens: Ist eigentlich dieselbe Frage wie hier: https://www.mathelounge.de/174648/injektive-abbildung-einer-unendlichen-menge

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hinweis : eine echte teilmenge kann zu einer menge nur dann gleichmaechtig sein wenn die menge eine unendliche menge ist

Answer 1

sei T eine echte Teilmenge einer Menge M.

Für eine injektive Abbildung f: M → T  benötigt man für alle Elemente x∈M  unterschiedliche  Bilder f(x) ∈ T

Bei einer endlichen Menge M hat eine echte Teilmenge T also mindestens ein Element zu wenig.

Betrachtet man aber z.B. die unendliche Menge ℕ = (1,2,3,...} und deren echte Teilmenge G der geraden positiven Zahlen, dann ist f: ℕ → G  ; f(x) = 2x injektiv.

Gruß Wolfgang