Warum ist "Summe k=1 bis unendl.: n^3/(n^4+k)" eine Folge und keine Reihe?

Question

ich habe eine Frage. Laut meinen Aufzeichnungen ist folgendes keine Reihe, sondern eine Folge:

$$ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{n^3}{n^4+k} $$

Warum soll dies eine Folge sein, und keine Reihe. Es werden doch die Glieder der Folge aufsummiert, was heißt es ist eine Reihe.

Ich soll die Konvergenz überprüfen, daher will ich das verstehen

Answer 1

Es ist eine Folge von Reihen.             

Comments

könntest du das genauer erklären? Das hat mich nur stärker verwirrt

Answer 2

n ist der Folgenindex, k der Summationsindex.

$$ { a }_{ n }=\sum_{k=1}^{\infty}{{ b }_{ k }}\\ { b }_{ k }=\frac { n^3 }{ n^4+k }$$

Der Wert von a_n hängt nur von n ab.

(Dazu sollte man sich zuerst aber überlegen, wann die Summe überhaupt konvergiert)

Comments

da wird dann doch die folge aufsummiert, oder nicht ? das wäre dann doch eine reihe? Leider verstehe ich das immer noch nicht :(

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Du musst hier zwischen den beiden Folgen a_n und b_k unterschieden.

Die Folge a_n soll betrachtet werden. Dabei varriiert man n. Die Summe (im Falle der Konvergenz) ergibt irgendeinen festen Wert S(n) --> dieser ist abhängig von n. Das k verschwindet, weil darüber summiert wird.

$$ \sum_{k=1}^{\infty}\frac { 1^3 }{ 1^4+k }={ a }_{ 1 }\\\sum_{k=1}^{\infty}\frac { 2^3 }{ 3^4+k }={ a }_{ 2 }\\\sum_{k=1}^{\infty}\frac { 2^3 }{ 3^4+k }={ a }_{ 3 }\\ $$

(leider konvergiert deine Reihe gar nicht für natürliche n, daher existieren die Folgenwerte eigentlich gar nicht.)

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danke für deine Mühe :D Aber mir ist ein Fehler unterlaufen, das obere Ende der Summe muss n sein! Es tut mir sehr leid

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Das ist nicht so schlimm, dann sollte es ja auch jetzt klar sein, dass es eine Partialsummenfolge ist ....

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ist es also eine Folge, in der die einzelnen Glieder reihen sind ? Dann hätte ich es verstanden :D

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Ja, sehr gut .

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dann sollte es ja auch jetzt klar sein, dass es eine Partialsummenfolge ist ....

Diese Aussage dürfte falsch sein, insbesondere weil das Wort "einer" im Satz   "Präzise wird eine Reihe als eine Folge definiert, deren Glieder die Partialsummen einer anderen Folge sind."   des verlinkten Wikipedia-Artikels als die Zahl 1 interpretiert werden muss.

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Ja da war ich mir nicht so sicher, habs aber dann stehen gelassen. Danke für die Erklärung.

Answer 3

https://de.wikipedia.org/wiki/Reihe_(Mathematik)

Reihen sind definitionsgemäss Folgen von Partialsummen, also von Summen bei denen der Index über dem Summenzeichen immer weiter steigt.

Partialsummen sind das s_n in der verlinkten Wikipediadefinition.