((3n + 6n -1) / (6n - 1)) - 1 < epsilon nach n auflösen

Question

kann mir jemand dabei helfen?

[(3ⁿ + 6ⁿ - 1) / (6ⁿ - 1)] - 1 < epsilon

Dies Ungleichung will ich nach n auflösen, aber packe es nicht.

Answer 1

Ich nehme an, das ist zum Thema Epsilontik. Aufloesung ist nicht erforderlich, Abschaetzung reicht. $$\left|\frac{3^n+6^n-1}{6^n-1}-1\right|=\frac{3^n}{6^n-1}=\frac{1}{2^n-3^{-n}}<\frac{1}{2^{n-1}}\le\frac{1}{n}\stackrel{!}{<}\epsilon.$$ Man kann also $n>1/\epsilon$ waehlen.

Answer 2

[(3ⁿ + 6ⁿ - 1) / (6ⁿ - 1)] - 1 < epsilon

[3ⁿ / (6ⁿ - 1) - 1 ] - 1 < epsilon

3ⁿ / (6ⁿ - 1)  < E         , n > 0

3ⁿ < E (6ⁿ - 1) 

Möglichkeiten:  

1. Substitution u = 3ⁿ   EDIT:  Achtung: falsch! u² = 9ⁿ nicht 6ⁿ. Vgl. Kommentar! 

u < E ( u² - 1)          , wobei u > 0 

==> quadratische Ungleichung lösen.  

0 < E * u² - u - E 

Danach rücksubstituieren! 

2. Möglichkeit

Vielleicht darfst du auch abschätzen. 

3ⁿ < E (6ⁿ - 1) 

Da müsstest du genauer sagen, worauf du hinaus willst. 

Comments

Wenn $u=3^n$, dann ist $u^2=9^n$, nicht $u^2=6^n$.

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Richtig! 6ⁿ = 2ⁿ * 3ⁿ

3ⁿ < E (2ⁿ * 3ⁿ - 1)

1 < E ( 2ⁿ - 1/3ⁿ) 

Eure Abschätzung ist da besser!

Answer 3

FÜLLLLLLLLLLLLLLLLTEXT

Comments

Die erste Ungleichung in der letzten Zeile stimmt nicht.

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Danke,  ich muss  den Nenner kleiner machen, nicht größer.

$$\frac { 3^n }{ 6^n-1 }<\frac { 3^n }{ 6^n-3^n }=\frac { 1 }{ 2^n-1 }<\epsilon$$