((3^n + 6^n -1) / (6^n - 1)) - 1 < epsilon nach n auflösen

Question

kann mir jemand dabei helfen?

[(3^n + 6^n - 1) / (6^n - 1)] - 1 < epsilon

Dies Ungleichung will ich nach n auflösen, aber packe es nicht.

Answer 1

Ich nehme an, das ist zum Thema Epsilontik. Aufloesung ist nicht erforderlich, Abschaetzung reicht. $$\left|\frac{3^n+6^n-1}{6^n-1}-1\right|=\frac{3^n}{6^n-1}=\frac{1}{2^n-3^{-n}}<\frac{1}{2^{n-1}}\le\frac{1}{n}\stackrel{!}{<}\epsilon.$$ Man kann also \(n>1/\epsilon\) waehlen.

Answer 2

[(3ⁿ + 6ⁿ - 1) / (6ⁿ - 1)] - 1 < epsilon

[3ⁿ / (6ⁿ - 1) - 1 ] - 1 < epsilon

3ⁿ / (6ⁿ - 1)  < E         , n > 0

3^n < E (6^n - 1) 

Möglichkeiten:  

1. Substitution u = 3^n   EDIT:  Achtung: falsch! u^2 = 9^n nicht 6^n. Vgl. Kommentar! 

u < E ( u^2 - 1)          , wobei u > 0 

==> quadratische Ungleichung lösen.  

0 < E * u^2 - u - E 

Danach rücksubstituieren! 

2. Möglichkeit

Vielleicht darfst du auch abschätzen. 

3^n < E (6^n - 1) 

Da müsstest du genauer sagen, worauf du hinaus willst. 

Comments

Wenn \(u=3^n\), dann ist \(u^2=9^n\), nicht \(u^2=6^n\).

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Richtig! 6^n = 2^n * 3^n

3ⁿ < E (2^n * 3^n - 1)

1 < E ( 2^n - 1/3^n) 

Eure Abschätzung ist da besser!

Answer 3

FÜLLLLLLLLLLLLLLLLTEXT

Comments

Die erste Ungleichung in der letzten Zeile stimmt nicht.

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Danke,  ich muss  den Nenner kleiner machen, nicht größer.

$$ \frac { 3^n }{ 6^n-1 }<\frac { 3^n }{ 6^n-3^n }=\frac { 1 }{ 2^n-1 }<\epsilon $$