Satz über implizite Funktionen, Verständnisfrage?

Question

Hey ich verstehe den Satz über implizite Polynome so, dass wenn f(x0,y0)=0 und δf/δy(xo,yo)≠0 ist, man eine implizite Funktion, in unserem Beispiel, eindeutig nach y auflösen kann.

Aber das ist ja falsch:

f(x,y)=x^2-y^2+1  ist nicht eindeutig nach y auflösbar.

aber für x=1 y=√2 ist die Funktion = 0 und die Ableitung nach y ungleich 0.

Wo ist mein Verständnisfehler der Definition?

Answer 1

Eine eindeutige Aufloesung \(y=g(x)\) wird nur in einer Umgebung $$U=[x_0-\delta,x_0+\delta]\times[y_0-\epsilon,y_0+\epsilon]$$ garantiert.

Das bedeutet

\(f(x,g(x))=0\) für alle \(x\in[x_0-\delta,x_0+\delta]\)

und

\(f(x,y)\ne0\) für alle \((x,y)\in U\) mit \(y\ne g(x)\).

Comments

Aber wenn ich zb für x,y e R^2 es beweisen kann, dann gilt es doch für alle x,y in R^2 oder?

Dann gäbe es keine Umgebung?

---

Was willst Du für alle x,y e R² beweisen koennen? Was ist es?

Answer 2

Sprichst du hiervon ?

https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_der_impliziten_Funktion#Begriffsbestimmung

"man eine implizite Funktion, in unserem Beispiel, eindeutig nach y auflösen kann."

Ob man nach y auflösen kann, ist nicht sicher und auch nicht wichtig. Es wird nur gesagt, dass implizit  eine Funktion definiert ist. Es gibt viele Funktionen, die sich nicht mit den gewohnten Rechenoperationen + - * √ usw. als y= ... schreiben lassen. Ausserdem gibt es Funktionen, die implizit einfacher zu beschreiben sind als explizit. 

implizit heisst hier so was wie "versteckt in dieser Gleichung F(x,y) = 0 " und nicht explizit als y = ....

Bei der expliziten Definition einer Funktion ist auf einen Blick ersichtlich, dass es sich um eine Funktion handelt (jedem x wird eindeutig ein y zugeordnet).

Bei implizit definierten Funktionen sind Wertebereich und Bildbereich meist oft lokal (in einer gewissen Umgebung von einem Punkt) so wählbar, dass man wirklich von Funktionen sprechen kann. 

Comments

Jeah das wusste ich auch, aber der Satz über implizite Funktionen sagt aus, wann man eine implizite Funktion eindeutig nach einer variablen umformen kann.

---

https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_der_impliziten_Funktion#Begriffsbestimmung

Wo siehst du das? Hier steht doch eigentlich nur, dass es y = f(x) gibt. Nicht, dass man F(x,y)= 0 nach y auflösen kann.- Selbst wenn das gelegentlich der Fall ist.