Das Spiel soll fair gemacht werden. Wie muss diese Gleichung aufgestellt werden?

Question

Ich habe zwar die Aufgabe 4a verstanden jedoch die 4b nicht so wirklich. Mir ist ja zwar klar,dass man eine Gleichung mit dem Parameter a aufstellen muss,aber wie genau? Würde mich freuen wenn jemand diese Teilaufgabe für mich lösen könnte. Vorallem weiß ich nicht was die Halbierung des Guthabens in der Gleichung darstellen soll.

Answer 1

Wir machen uns mal eine Tabelle mit den verschiedenen Ausgängen

	K	Z
K	1	4
Z	4	16

Alle Ausgänge haben die Wahrscheinlichkeit 0,25. Damit ergibt sich der Erwartungswert

0,25*1+0,25*4+0,25*4+0,25*16=25/4=6,25

Also ist das Spiel nicht fair, diesmal aber zu Ungunsten der Bank.

Für b schreiben wir jetzt den Erwartungswert mal etwas allgemeiner. Das Spiel wäre fair wenn der Erwartungswert 4 Euro beträgt.

E=0,25*1+2*0,25*0,5*a*4+0,25*a*a*4=4

a^2+a-3,75=0

Pq-Formel

a_12=-0,5±√(0,25+3,75)

      =-0,5±2

a=1,5

Statt zu verdoppeln muss das Guthaben mit 1,5 multipliziert werden.

Comments

Danke für die antwort,nur eine Frage bleibt mir offen,wie bist du auf bei 0,25*a*a*4 auf die 4 gekommen? Wenn zwei Zahl fällt,dann hat man doch ein Ereignis von 16 oder? Bin etwas verwirrt,also mir ist nicht klar warum die Ereignisse sich aus 4a geändert haben. Dass z.b 4 jetzt beim allegemeinem Erwartungswert nur noch 2a ist.

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Der Erwartungswert ist ja immer Wahrscheinlichkeit mal Ergebnis. Die Wahrscheinlichkeit ist ja immer 0,25. Die Ergebnisse sind im ersten Fall 1, 4, 4 16. Diese entstehen indem der Einsatz 4 Euro im ersten Fall  (1€) zweimal halbiert wird, also 4*0,5*0,5. Beim Ergebnis 4euro wird der Einsatz erstmal verdoppelt und dann halbiert, also 4*2*0,5. Im dritten fall (16€) wird der Einsatz zweimal verdoppelt, also 4*2*2.

Im allgemeinen Fall bleibt die Halbierung erhalten (also *0,5) aber die Verdoppelung  (*2) wird ersetzt durch den Faktor *a. Also wird aus 0,25*0,5*2*4 dann 0,25*0,5*a*4 und aus 0,25*2*2*4 wird 0,25*a*a*4.

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Danke jetzt macht es für mich mehr Sinn. Nochmals danke,für die Hilfe