Differenzialgleichung 1. Ordnung lösen: x*y` = y*(1+ln(y/x))

Question

Würdet Ihr das auch so rechnen?

x * y` = y * (1 + ln ( y / x ) )     geteilt durch x

y´ = y / x * (1+ln ( y / x ) )

 

Dann Substitution:

u = y / x

y = u * x

y´= u´ *x + u

 

u´* x + u = u * (1 + ln ( u ) )      dann - u ; geteilt durch x

u´ = (u * ( 1 + ln ( u ) ) - u) / x

u´ = ( u + u * ln ( u ) - u ) / x

u´ = ( u * ln ( u ) ) / x

du / dx = ( u * ln ( u ) ) / x     dann geteilt durch  u * ln (u);  *dx

du / ( u * ln ( u ) ) = ( 1 / x ) * dx

ln ( ln ( u ) ) = ln ( x ) + c

Answer 1

Ja, das ist bis dahin richtig.

Allerdings muss deine Lösung ja die Form y(x) haben, du suchst schließlich eine Funktion y, die von der freien Variablen x abhängt.

Also musst du noch den Ausdruck für u resubstituieren und dann nach y umstellen:

 

ln(ln(u)) = ln(x) + c

ln(ln(y/x)) = ln(x) +c

ln(y/x) = e^ln(x)+c = x*e^c

Nennt man e^c = k, dann folgt:

ln(y/x) = kx

y/x = e^kx

y(x) = x*e^kx