Sind diese Vektoren linear abhängig? (3|-1|4), (2|0|1), (5|-2|1)

Question

Könnte mir bitte jemand die Nr.26 d) errechnen? 9

(3|-1|4), (2|0|1), (5|-2|1) 

Answer 1

r·[3, -1, 4] + s·[2, 0, 1] = [5, -2, 1] --> keine Lösung für r und s, daher sind die Vektoren linear unabhängig.

Comments

Dankeschön, aber was ist , wenn ich es mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren ausrechne? Da kommt bei mir etwas raus :-(

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Also es kommt eine nicht-triviale Lösung raus :-/

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Was hast du gerechnet und was kommt heraus?

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r·[3, -1, 4] + s·[2, 0, 1] = [5, -2, 1] --> keine Lösung für r und s, daher sind die Vektoren linear unabhängig.

r·[2, 2, 2] + s·[1, 1, 1] = [1, 0, 0] --> keine Lösung für r und s, daher sind die Vektoren linear unabhängig.

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Also rechts sind die Nebenrechnungen , und ich habe noch x & y nicht berechnet , aber z bis jetzt wo 0,615 rauskommt. Mir ist da bestimmt irgendwo ein fehler unterlaufen :-(

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& noch eine Verständnisfrage, wenn beim Gaußschen Eliminationsverfahren mindestens eine Zahl rauskommt, sind die Vektoren lin. Abhängig & wenn nur 0er rauskommen, sind sie linear unabhängig oder?

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@Fakename

Ich darf das machen weil [3, -1, 4]  und [2, 0, 1] unabhängig sind. Du darfst das nicht machen weil [2,2,2] und [1,1,1] schon linear abhängig sind. Wenn 2 Vektoren von den drei schon linear Abhängig sind können drei natürlich nicht unabhängig sein.

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@Nikiiiii

Beim Ansatz

r * a + s * b + t * c = 0

darf nur die Triviallösung rauskommen, damit die Vektoren a, b und c linear unabhängig sind.

Bei meinem Ansatz

r * a + s * b = c

müssen a und b schon linear unabhängig sein und es darf keine Lösung geben, damit die Vektoren linear unabhängig sind.

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& was ist richtig ? :-( das verwirrt mich

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B.z.w was bedeutet das?

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Ahhh klar jetzt weiß ich Bescheid.& habe ich da irgendwo einen Fehler gemacht? Also in meiner Rechnung?

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Mach doch mal die Probe und setze dein Ergebnis in die Ausgangsgleichung ein.

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Und die Probe muss dann 0 ergeben gell? Also damit sie lin.abh sind ?

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Richtig. Bei der Probe muss deine Ausgangsgleichung erfüllt werden und das war bei dir ja.

r * a + s * b + t * c = 0

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Danke :-) ok da heißt, ist diese nicht erfüllt, lässt sich sagen, dass diese linear unabhängig sind. Muss man immer die Probe machen? Oder lässt es sich anhand der Ergebnisse sagen, ob die vektoren lin un-/abhängig sind?

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Wenn 2 Vektoren von den drei schon linear Abhängig sind können drei natürlich nicht unabhängig sein.

Man erkennt aber nur von zwei Vektoren auf einen Blick, ob sie linear abhaengig sind oder nicht. Schon bei dreien -- sagen wir Teilaufgabe g) -- wird es schwieriger. Bei noch mehr erkennt man ohne Rechnung i.A. gar nichts mehr. Deine Vorgehensweise beschraenkt sich also praktisch gesehen auf Mengen von genau drei Vektoren.

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Na wie praktisch, dass in etlichen Bundesländern Vektoren nur im Rahmen der analytischen Geometrie im R³ behandelt werden.

Und natürlich hätte ich das auch mit dem universelleren Ansatz machen können. Aber warum?

Aber du kannst es gerne in deinen eigenen Antworten so rechnen wie du möchtest.

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Vielleicht interessiert es den Fragesteller, dass die Antwort von Dir (wie die von Lu) mit Vorsicht zu geniessen ist. Er hat ja noch mehr Aufgaben auf dem Zettel. Drum steht es als Kommentar genau hier. Wenn es Dich nicht interessiert: mir auch recht.

Answer 2

(3|-1|4), (2|0|1), (5|-2|1) 

a*(3|-1|4) + b*(2|0|1) = (5|-2|1) 

3a + 2b = 5  (I)

-a = -2 (II)  ==> a = 2

in (I)

6 + 2b = 5

2b = -1

b = -1/2

Nun 3. Gleichung prüfen:

4a + b = 1    (III)

8 + (-1/2) = ? = 1 Nein! Widerspruch!

==> die Vektoren sind linear unabhängig. 

Answer 3

Vielen Dank für das Foto von deiner Rechnung.  Der Ansatz ist falsch.  Es muss heißen a * v1 + b * v2 + c * v3 = 0.  Also lautet die zweite Gleichung … = 0.  Und nicht … = -2.  Entsprechend die dritte Gleichung.  = 0 und nicht = 1.

So wie es Lu und der Mathecoach gemacht haben gehts auch.

Comments

Supeeer oh mein Gott stimmt ja :D vielen Dank!!!  Das kommt immer dabei raus, wenn ich so spät noch rum rechne