Grenzwert einer Potenzreihe ∑n*(x)^n bestimmen?

Question

c) Für welches \( x \in R \) konvergiert folgende Potenzreihe. Berechnen Sie ihren Grenzwert.
$$ \sum \limits_{n=1}^{\infty} n * x^{n} $$

Hänge bei dieser Aufgabe.

danke :3

Comments

Tipp: Leite die geometrische Reihe

 ∑n=0 bis ∞ x^n = 1/(1-x)

nach x ab

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Betrachte für \(\vert x\vert<1\) die geometrische Reihe \(\large\sum_{n=0}^\infty x^n=\frac1{1-x}\). Bilde die Ableitungen und multipliziere anschließend mit \(x\).

Answer 1

r = lim_(n-> ∞) | a_(n)/a_(n+1) |  Gemäss  https://en.wikipedia.org/wiki/Radius_of_convergence#Theoretical_radius

=  lim_(n-> ∞) | n/(n+1) | 

=  lim_(n-> ∞) |1/(1 + 1/n) | 

= 1.

D.h. die Potenzreihe konvergiert für schon mal |x| < 1.

Nun x= 1 und x=-1 noch separat anschauen.

∑ n konvergiert sicher nicht.

∑n*(-1)^n konvergiert auch nicht, da die Summanden keine Nullfolgen bilden. 

Also ist konvergiert die Potenzreihe nur für x mit |x| < 1.

Warum steht in der Frage "für welches x" ? Ich habe hier viele solche x gefunden.

Für x = 0 konvergiert die Potenzreihe sicher und der Grenzwert ist 0, da 0+0+...+ 0 = 0 .

Hinweis: Hinweis: Cauchy-Produkt. Bei https://www.mathelounge.de/183247/fur-welche-x-%E2%88%88-%E2%84%9D-konvergiert-die-potenzreihe-summe-von-n-x-n