Invertieren einer 2x2-Matrix

Question

Hallo :)

Wie invertiere ich eine Matrix?

Die Matrix lautet :

2   -2                         Bitte eine Klammer um die Matrix denken :) Bekomme das mit diesem Programm leider nicht hin :/

4    2

Vielen dank für deine/eure Hilfe!!!

Answer 1

[2, -2, 1, 0]
[4, 2, 0, 1]

II - 2*I

[2, -2, 1, 0]
[0, 6, -2, 1]

3*I + II

[6, 0, 1, 1]
[0, 6, -2, 1]

Normieren

[1, 0, 1/6, 1/6]
[0, 1, -1/3, 1/6]

Die Inverse ist

[1/6, 1/6]
[-1/3, 1/6]

Comments

Ich verstehe den Rechenweg leider noch nicht ganz :(

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Wobei hast du genau Schwierigkeiten?

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Ich verstehe die komplette Rechnung nicht, also wie man genau die Matrix invertiert und später zu dem Ergebnis 1/6, 1/6, -1/3, 1/6 kommt

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Du schreibst links deine Matrix hin und rechts die Einheitsmatrix daneben. Dann benutzt du das Gauss-Verfahren um deine Matrix auf die Einheitsmatrix zu bringen. Dabei entsteht dann rechts aus der Einheitsmatrix die Inverse.

II - 2*I bedeutet das ich von der 2. Zeile das 2fache der 1. Zeile subtrahiere.

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Danke, das verstehe ich jetzt :) Aber wie normiere ich? Da komme ich nicht auf das Ergebnis

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Du teilst einfach beide Zeilen durch 6, damit links die Einheitsmatrix steht.

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[6, 0, 1, 1] 
[0, 6, -2, 1] 

Du kannst hier beide Zeilen komlett durch 6 teilen. Du bekommst dann

[6/6, 0/6, 1/6, 1/6] 
[0/6, 6/6, -2/6, 1/6] 

und nach Vereinfachung

[1, 0, 1/6, 1/6] 
[0, 1, -2/6, 1/6]

Ist das so klar?

Answer 2

Die Inverse einer nichtsingulären \(2\times2\)-Matrix \(M=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\) lautet \(M^{-1}=\frac1{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\).

Answer 3

wenn Du Matrizen per Hand invertieren willst, schreibst Du links die Matrix und rechts die Einheitsmatrix hin:

$$ \begin{pmatrix} 2 & -2 & | & 1 & 0 \cr 4 & 2 & | & 0 & 1 \cr \end{pmatrix} $$

Dann machst Du so lange elementare Zeilenumformungen, bis links die Einheitsmatrix steht. Rechts ergibt sich dann die Inverse:

$$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & | & 1/6 & 1/6 \cr 0 & 1 & | & -1/3 & 1/6 \cr \end{pmatrix} $$

Grüße,

M.B.

Comments

Ich verstehe leider immer noch nicht wie man das rechnet. Habe jetzt alles Mögliche ausprobiert.
Das mit der Einheitsmatrix verstehe ich, aber wie rechne ich dann weiter? Komme einfach nicht auf 1/6

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Hallo Natti:

Schau mal bei der Antwort von Mathecoach ab "Normieren"

Normieren heißt hier: Beide Zeilen der Matrix durch 6 dividieren, damit vorn Einsen (und damit die Einheitsmatrix) entstehen.

Gruß Wolfgang