Man mache sich anhand einer Skizze klar, dass die 2-Cent-Münze ( Durchmesser d = 18,75 mm ) genau dann vollständig innerhalb des gegebenen Quadrates von 30 mm Seitenlänge liegt, wenn ihr Mittelpunkt innerhalb eines Quadrates zu liegen kommt, dessen Seitenlänge gleich der Seitenlänge des gegebenen Quadrates ( 30 mm ) abzüglich des Durchmessers der Münze ist, also 30 - 18,75 = 11,25 mm beträgt.
Die Wahrscheinlichkeit P für dieses Ereignis ist gleich dem Verhältnis des Flächeninhaltes des inneren Quadrates zu dem Flächeninhalt des äußeren Quadrates, also:
P = 11,25 ² / 30 ² = 14,0625 %
Das Spiel ist fair, wenn der Erwartungswert E gleich Null ist.
Da der Spieler bei dem betrachteten Spiel mit einer Wahrscheinlichkeit P 60 Cent gewinnt ( 70 Cent Gewinn - 10 Cent Einsatz) und mit einer Wahrscheinlichkeit (1 - P) 10 Cent verliert, gilt für den Erwartungswert aus Sicht des Spielers:
E = 60 * P - 10 * ( 1 - P )
= 60 * 0,140625 - 10 * 0,859375 = - 0,15625
Da der Erwartungswert ungleich Null ist, ist das Spiel nicht fair.
Und da der Erwartungswert aus Sicht des Spielers kleiner als Null ist, verliert der Spieler im langfristigen Mittel und zwar den Erwartungswert, also 0,15625 Cent pro Spiel.
In 100 Spielen verliert der Spieler also im Mittel 15,625 Cent.
