Integral positiv oder negativ?

Question

ich habe eine Frage zur Integralrechnung, die wir gerade in der Schule machen. Und zwar:

Die allgemeingültige Regel ist ja, dass ein Integral über der x-Achse positiv ist und unter der x-Achse negativ. Allerdings hatten wir letztens in der Schule(den Zusammenhang weiß ich leider nicht mehr) den Fall, dass die Integrale, die überhalb der x-Achse( x größer 0) und unterhalb der x-Achse (x kleiner als 0) liegen, positiv sind und die Integrale, die oberhalb der x-Achse (x kleiner als 0) und die unterhalb der x-Achse(x größer als 0) liegen, negativ sind.

Dadurch bin ich jetzt sehr verwirrt und kann man dies nicht erklären, da es ja klar gegen die Regel spricht.

Könnte mich bitte jemand aufklären ?

:)!

Answer 1

Hallo !

Denke du meinst Flächeninhalt und Flächenbilanz:

Flächenbilanz: Bereiche unter der x - Achse also im negativen y-Bereich tragen negativ zum Gesamtinhalt bei. Stelle dir x³ vor, der Teil im negativen y-Bereich zählt als negativer Flächeninhalt, bspw A1 = -1/4, der Bereich über der x Achse positv, d.h. z.B. A2 = + 1/4

Soll man jedoch den Gesamtflächeninhalt berechnen, was häufiger der Fall ist, zählt der Bereich unter der x Achse positiv zum Inhalt, man nimmt also den Betrag des Teilinhalts und addiert ihn zum Rest dazu.

So müsste man an die Flächenbilanz herangehen, der Teil unter der x Achse ist als negativ zu betrachten.

Gruß Luis

Answer 2

Es kommt immer auch auf die Integrationsrichtung an, also

Integral von 1 bis 2 über x² dx =  7/3   (positiv, Graph über x-Achse)

aber


Integral von 2 bis 1 über x² dx =   - 7/3   ( wegen Richtung von rechts nach links.)

Answer 3

Flächen sind immer positiv.

Die Resultate von Integrationen können positiv oder negativ sein.

Ich denke bei der Formel für S und der Zeichnung daneben siehst du gut, was passiert. https://de.wikipedia.org/wiki/Riemannsches_Integral#Riemann-Summen

Im Prinzip werden die gelben Rechtecksflächen addiert. Das steht nach dem Summenzeichen.

f(ti) ist im Prinzip die Höhe des Rechtecks im Teilpunkt t_(i). Aber f(ti) hat ein Vorzeichen. Wenn die Kurve oberhalb der x-Achse verläuft, ist f(ti) positiv ( unterhalb negativ).

Auch die Breite des Rechtecks hat ein Vorzeichen. Üblicherweise wird von links nach rechts integriert. Da ist a < b und die Unterteilungsstellen auf der x-Achse heissen der Reihe nach x_(1), x_(2), ... x_(n). Dabei gilt jeweils  x_(i-1) < x_(i) , wodurch die Differenz x_(i) - x_(i-1) > 0. Es folgt, dass Flächenanteile oberhalb der x-Achse positiv und solche unterhalb der x-Achse negativ gezählt werden.  

Wird ausnahmsweise / aus Versehen von rechts nach links integriert, ist a > b und die Unterteilungsstellen auf der x-Achse  x_(1), x_(2), ... x_(n) werden von rechts nach links nummeriert.  Es gilt jeweils  x_(i-1) > x_(i) , wodurch die Differenz x_(i) - x_(i-1) < 0. Es folgt, dass Flächenanteile oberhalb der x-Achse negativ und solche unterhalb der x-Achse positiv gezählt werden.