Spur von Matrixprodukt

Question

ich soll zeigen, dass für jede mxn-Matrix die Spur von dem Produkt MM^* = tr(MM^*) (also mxn mal mxn adjungiert) stets grösser gleich null ist.

Kann mir dabei jemand helfen?

Ich weiss, dass logischerweise aus dem Produkt der Matrizen eine quadratische Matrix nxn herauskommt und dass wenn der zugrunde liegende Körper R (reelle Zahlen) ist, nur transponiert wird, da Konjugation keine Auswirkung hat. Aber warum muss die Summe der Hauptdiagonalen von diesem Produkt dann grösser gleich null sein?

Answer 1

wenn etwa die erste Spalte der Matrix die Elemente

a11
a21
a31
...
an1

ist . Dann hat die erste Zeile von A^T ja  die gleichen Werte.

Also ist beim Produkt der Matrizen im Element mit Index 1,1

die Summe a11² + a12² + ... an1²   und weil die

Quadrate alle ≥ 0 sind, ist es die Summe auch.

So ist es bei allen Hauptdiagonalelementen, also ist

auch die Spur  ≥ 0 .