Ebene durch den Ursprung und parallel zu g1 und g2. Ebenengleichung?

Question

folgende Aufgabenstellung:
Geben Sie die Gleichung der Ebene E an, die zu g1 und g2 parallel ist und durch den Ursprung geht. 
g1: r = (2,0,-3) + t * (3,1,-1)
g2: r = (2,0,-3) + s * (-1,1,1)
Meine Lösung war:E: x = a + t * b + s * c also E: x = (2,0,-3) + t * (3,1,-1) + s * (3,-1,-4)
Die Musterlösung gibt aber Folgendes an:
E: x= s* (3,1,-1) + t (-1,1,1)
welche mich aber etwas verwundert weil ich es wie bei meiner Lösung gelernt habe.Wäre nett wenn mir kurz jemand sagen könnte ob meine Lösung komplett falsch wäre und wenn ja warum.

Answer 1

Nicht jede Ebene die zu irgendetwas parallel ist, hat die gleiche Gleichung. Die gesuchte Ebene E muss nur parallel zu den gegebenen Geraden verlaufen. Es wäre Zufall, wenn eine von ihnen tatsächlich in E liegt.

Geben Sie die Gleichung der Ebene E an, die zu g1 und g2 parallel ist und durch den Ursprung geht.  
g1: r = (2,0,-3) + t * (3,1,-1) 
g2: r = (2,0,-3) + s * (-1,1,1) 
Meine Lösung war:E: x = a + t * b + s * c also E: x = (0|0|0) + t * (3,1,-1) + s * (3,-1,-4)

Hast du c frei erfunden?

Einen Punkt auf der gesuchten Ebene kennst du bereits (0|0|0). Nimm ihn als Stützpunkt. (2|0|-3) könnte zufällig auch auf E liegen. Das müsste man aber erst rechnerisch zeigen.

Vom Stützpunkt (0|0|0) aus kannst du Vielfache der Richtungsvektoren der beiden Geraden addieren. Das wurde in der Musterlösung so gemacht.

Illustration:

Bewege die Figur im zugehörigen Link (unten) so lange, bis du gesehen hast, dass die blaue Ebnen durch O zu beiden Geraden parallel ist.

https://www.matheretter.de/geoservant/de?draw=punkt(0%7C0%7C0%20%22O(0%7C0%7C0)%22)%0Apunkt(2%7C0%7C-3%20%22P(2%7C0%7C-3)%22)%0Agerade(2%7C0%7C-3%205%7C1%7C-4)%0Agerade(2%7C0%7C-3%201%7C1%7C-2)%0Avektor(0%7C0%7C0%203%7C1%7C-1)%0Avektor(0%7C0%7C0%20-1%7C1%7C1)%0Aebene(0%7C0%7C0%203%7C1%7C-1%20-1%7C1%7C1)%0Avektor(2%7C0%7C-3%203%7C1%7C-1)%0Avektor(2%7C0%7C-3%20-1%7C1%7C1)%0Ag1%3A%20r%20%3D%20(2.0.-3)%20%2B%20t%20*%20(3.1.-1)%20%2Bg2%3A%20r%20%3D%20(2.0.-3)%20%2B%20s%20*%20(-1.1.1)%0AMeine%20L%C3%B6sung%20war%3A%0AE%3A%20x%20%3D%20a%20%2B%20t%20*%20b%20%2B%20s%20*%20c%20also%20E%3A%20x%20%3D%20(2.0.-3)%20%2B%20t%20*%20(3.1.-1)%20%2B%20s%20*%20(3.-1.-4)

Answer 2

In der Musterlösung werden die beiden Richtungsvektoren

der Geraden benutzt, die liegen natürlich beide in der Ebene.

Dein 2. Richtungsvektor (3,-1,-4)  liegt aber nicht in der Ebene,

der er lässt sich nicht als Linearkombination von

(3,1,-1) und   (-1,1,1)  darstellen. 

In der Musterlösung wird als Stützvektor der 0-Vektor verwendet,

das ist allerdings auch falsch, da die Ebene nicht durch den Nullpunkt

geht.  Richtig fände ich

E: x=  (2,0,-3) + s* (3,1,-1) + t (-1,1,1)

Comments

Hallo MC,

Die Musterlösung ist richtig:

> Geben Sie die Gleichung der Ebene E an, die zu g1 und g2 parallel ist und durch den Ursprung geht.  

Deine Ebene enthält g₁ und g₂ , geht aber nicht durch den Ursprung.

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Danke, manchmal ist es wirklich hilfreich die ganze Aufgabe zu lesen.