Potenzen und Brüche. Wer kann diese Aufgaben lösen? (a^2/b^2 -b^2/a^2)/a^2+b^2/a^2*b^2

Question

Wie kann das hier vereinfachen?

(a²/b² -b²/a²)/a²+b²/a²*b²

y⁵*y^-2y+3*y²*y³*y^-2

1-x⁵/x⁷ + 1/x²

Answer 1

(a²/b² -b²/a²)/a²+b²/a²*b²= 1/b²-b²/a⁴+b⁴/a².

y⁵*y^-2y+3*y²*y³*y^-2=y⁴+3y³

1-x⁵/x⁷ + 1/x²=1-1/x²+1/x²=1

Answer 2

(a^2/b^2 - b^2/a^2)/a^2 + b^2/a^2·b^2

= (a^2·b^{-2} - a^{-2}·b^2)/a^2 + a^{-2}·b^4

= b^{-2} - a^{-4}·b^2 + a^{-2}·b^4

= b^{-2} - a^{-4}·b^2 + a^{-2}·b^4

= (a^4 + a^2·b^6 - b^4) / (a^4·b^2)

--------------------------------------------------

y^5·y^{-2}·y + 3·y^2·y^3·y^{-2}

= y^{5 - 2 + 1} + 3·y^{2 + 3 - 2}

= y^4 + 3·y^3

--------------------------------------------------

1 - x^5/x^7 + 1/x^2

= 1 - x^{5 - 7} + x^{-2}

= 1 - x^{-2} + x^{-2}

= 1

Answer 3

Es gilt dass $$x^m\cdot x^n=x^{m+n}$$ und $$\frac{x^m}{x^n}=x^m\cdot x^{-n}=x^{m-n}$$ 

Wir haben folgendes: 

$$\frac{\frac{a^2}{b^2}-\frac{b^2}{a^2}}{a^2}+\frac{b^2}{a^2}\cdot b^2=\frac{\frac{a^2\cdot a^2-b^2\cdot b^2}{a^2\cdot b^2}}{a^2}+\frac{b^2\cdot b^2}{a^2} \\ =\frac{a^2\cdot a^2-b^2\cdot b^2}{a^2\cdot b^2\cdot a^2}+\frac{b^4}{a^2} \\ =\frac{a^4-b^4}{a^4\cdot b^2}+\frac{b^4}{a^2} \\ =\frac{a^4}{a^4\cdot b^2}+\frac{-b^4}{a^4\cdot b^2}+\frac{b^4}{a^2} \\ =\frac{1}{b^2}-\frac{b^2}{a^4}+\frac{b^4}{a^2}$$ 

$$y^5\cdot y^{-2}\cdot y+3\cdot y^2\cdot y^3\cdot y^{-2}=y^{5-2+1}+3\cdot y^{2+3-2}=y^4+3\cdot y^3$$ 

$$1-\frac{x^5}{x^7}+\frac{1}{x^2}=1-x^{5-7}+\frac{x^0}{x^2}=1-x^{-2}+x^{0-2}=1-x^{-1}+x^{-2}=1$$