Fragen zur Analytischen Geometrie & Trigonometrie/kleine Beispiele

Question

Meine Fragen sind nicht so " monströs" , wie es scheint ;) Ich hätte ein paar grundlegende Fragen. Ich habe mich schon durchs Internet gewälzt, aber oft steht das sehr kompliziert da. Vielleicht kann sie mir jemand mit einfachen Worten erklären.

Vielleicht auch nicht wichtig: Ich beschäftige mich nun seit 2 Wochen mit diesen beiden Themen, und dass sind Fragen, die ich bis jetzt nicht lösen konnte.. Also hat das nichts damit zu tun, dass ich es mir einfach machen möchte :)


ICH BEDANKE MICH SCHON IM VORAUS.
 

 



1.) Analytische Geometrie:

a.) Was ist der Unterschied zwischen der Parameterform und der Normalvektorform? 

      Mal angenommen, ich müsste irgendeine Parametergleichung aufstellen. ( eine x- beliebige.) Wie mache ich das? Vielleicht könnt ihr mir ein einfaches Beispiel geben. Wie stelle ich dann die Normalvektorform auf, und umgekehrt? Und was bedeutet das geometrisch? Und wie wandle ich diese Formen in die Koordinatenform kx+d um? 

b.) Kreisgleichung:  Berechnen sie die Schnittpunkte des Kreises k mit der Geraden g. k: M(2/-2), r = Wurzel aus 17     g: 3x –5y = -1

    Hier habe ich folgendes Problem: Natürlich weiß ich wie man die Kreisgleichung aufstellt: ( x-2)² + ( y+2)²= 17. Ich weiß auch, dass ich g umformen muss, so dass ich ein x erhalte. Dieses x setze ich in die Kreisgleichung für x ein, löse diese auf, wende je nach Beispiel die große oder kleine Lösungsformel an um dann anschließend die Koordinaten meines Schnittpunktes zu berechnen. Bei diesem Beispiel komme ich aber nicht auf die gegebene Lösung S1(3/2); S2(-2/-1). Vielleicht könnte mir dieses Beispiel jemand ausrechnen ( bzw. vorrechnen, ab den Punkt wo die binomische Formeln angewandt werden, ich glaube hier liegt mein Fehler am ehesten.)

c.) Ich habe 2 Geraden gegeben:  g: X= ( 2/-2) + t ( 1/2)      und h: X = ( -1/2) + a * ( 3/1). Bestimme die gegenseitige Lage der Geraden ( zeichnerisch und rechnerisch.) 

Zeichnerisch habe ich bereits gelöst- hier ist natürlich sofort zu erkennen dass sich die beiden Geraden schneiden.  Rechnerisch würde ich die beiden Geraden also auch schneiden:  

2+ t = -1 + 3a
-2 + 2t= 2* 1a..... etc. Bis ich dann den Schnittpunkt erhalte.

Wie wäre die Aufgabe zu lösen, wenn sich die beiden Geraden nicht schneiden? Das stelle ich mir so vor: Ich habe ein Beispiel, bei dem ich rechnerisch die gegenseitige Lage der Geraden feststellen soll. Nun schneide ich die beiden Geraden und komme zu keinem Ergebnis. Woher weiß ich, dass sie sich nicht schneiden? Ich habe noch nie ein Beispiel rechnen müssen, wo sich 2 Geraden nicht schneiden. Wie könnte dies aussehen? Erhalte ich dann für den Schnittpunkt ( 0/0)? Und wie merke ich, dass es 2 Schnittpunkte gibt?

d.) Bestimmen Sie eine Gleichung des Kreises mit dem Mittelpunkt M ( 0/5), der die Gerade g: 5x+ 3y= -19 berührt. 

Wie könnte ich das anstellen? Bzw. wie errechnet sich hier der Radius? Ich habe hier leider keine Idee wie das funktionieren könnte. Vlt: ( x-5)² + ( y+3)²= der errechnete Radius?

e.) Ermittle eine Gleichung eines Kreises, der durch 2 Punkte geht und dessen Mittelpunkt auf einer gegebenen Geraden liegt.

Diesbezüglich fand ich auf mathelounge.de folgendes Beispiel:

Ermittle eine Gleichung eines Kreises, der durch die Punkte A(6/6) und B ( 0/-4) geht und dessen Mittelpunkt auf der Geraden g: x= -2 liegt!

Hier wurde geschrieben, dass die Mittelsenkrechte aufgestellt werden soll. Was ist damit gemeint? Wurde leider nicht mehr weitergeführt in diesem Beitrag. Wenn ich das weiß ist es kein Problem mehr, den Schnittpunkt aufzustellen oder r zu berechnen. Aber wie komme ich zur Mittelsenkrechte? Und woher weiß ich, dass ich das machen muss? Ist das bei solchen Beispielen immer ein möglicher Lösungsweg?

f.) Ich habe oft von dem Ausdruck " inverser Vektor" gehört. Wofür brauche ich den? Und wofür brauche ich den Nullvektor? 

Das der Nullvektor ein Vektor ist, dessen Betrag, also Länge 0 ist habe ich verstanden. Und nun? xD

 

2.) Trigonometrie

a.) Ist folgende Aussage korrekt?

      Tangens: Den Tangens verwende ich in einem rechtwinkligen Dreieck. Ich erkenne ihn, wenn ich      Trigonometriebeispiele rechne, ehrlich gesagt nur, wenn die Begriffe " Höhen und Tiefenwinkel" vorkommen. Gibt es da vielleicht einen "Trick"? Bin mathematisch leider nicht so begabt ;)  
 Weiters zum Tangens: Ich weiß, dass es die Ankathete, die Gegenkathete und die Hypotenuse gibt. Die Hypotenuse ist die längste Seite ( also c) . Wie unterscheide ich Ankathete und die Gegenkathete? Normal würde ich sagen, dass die Ankathete an Alpha "anliegt", aber das tut die Gegenkathete doch auch?

 

b.) Anwendung des Tangens in einem Beispiel

Dieses Beispiel fand ich auch in diesem Forum. Wie man dieses Beispiel zeichnet war mir klar. 

Aber wie wendet man den Tangens jetzt an? Das verstehe ich nicht so ganz... Immerhin habe ich hier

weder Gegenkathete oder Ankathete gegeben? Warum rechne ich die Höhe des ( Aussichtspunktes? - 28,32) + t* l tan?  Welche Formel wurde hier angewandt?? 

Ich könnte das Schema einfach " auswendig" lernen, aber ich würde es doch gerne verstehen.. Dieser Beitrag wurde gelöst ( rechnerisch habe ich hier also kein Problem, nur " verständnismäßig)

Comments

Du kämpfst hier auf zu vielen Baustellen. Es wäre vermutlich hilfreich, wenn du dir den Videozugang von matheretter.de holst und Grundlagen wie binomische Formeln und Trigonometrie nachholst. Wir können hier mit Aufgaben nur vernünftig etwas erreichnen wenn allgemeine Grundlagen vorausgesetzt werden können. 

b.) Kreisgleichung:  Berechnen sie die Schnittpunkte des Kreises k mit der Geraden g. k: M(2/-2), r = Wurzel aus 17     g: 3x –5y = -1

    Hier habe ich folgendes Problem: Natürlich weiß ich wie man die Kreisgleichung aufstellt: ( x-2)² + ( y+2)²= 17. Ich weiß auch, dass ich g umformen muss, so dass ich ein x erhalte. Dieses x setze ich in die Kreisgleichung für x ein, löse diese auf, wende je nach Beispiel die große oder kleine Lösungsformel an um dann anschließend die Koordinaten meines Schnittpunktes zu berechnen. Bei diesem Beispiel komme ich aber nicht auf die gegebene Lösung S1(3/2); S2(-2/-1). Vielleicht könnte mir dieses Beispiel jemand ausrechnen ( bzw. vorrechnen, ab den Punkt wo die binomische Formeln angewandt werden, ich glaube hier liegt mein Fehler am ehesten.)

Kreisgleichung aufgestellt hast du schon richtig 

K: (x - 2)^2 + (y + 2)^2 = 17
g: 3x - 5y = -1

Man hat hier zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten. Als grundlegendes Handwerkszeug darf also das Einsetzungsverfahren angenommen werden.

https://de.wikipedia.org/wiki/Einsetzungsverfahren

Da findest Du auch hilfreiche Videos bei matheretter.de
https://www.matheretter.de/mathe-videos

Man löst eine Gleichung zu einer Unbekannten auf und setzt das dann in die Gleichung ein

3x - 5y = -1
y = 0.6·x + 0.2

(x - 2)^2 + (0.6·x + 0.2 + 2)^2 = 17
(x - 2)^2 + (0.6·x + 2.2)^2 = 17

Hier sollten die binomischen Formeln vorausgesetzt werden dürfen.

(x^2 - 4·x + 4) + (0.36·x^2 + 2.64·x + 4.84) = 17
1.36·x^2 - 1.36·x + 8.84 = 17
1.36·x^2 - 1.36·x - 8.16 = 0

An dieser Stelle darf sicher die abc-Mitternachtsformel zum Lösen quadratischer Gleichungen vorausgesetzt werden.

x = 3 ∨ x = -2

Das wenn man eine Variable hat, die andere durch einsetzen ermittelt sollte auch bekannt sein.

Du siehst wie oft man sich auf Grundlagen beziehen muss, die wirklich essenziell sind. Daher sollte man die Grundlagen, wie sie z.B. bei matheretter.de (https://www.matheretter.de/mathe-videos) erklärt werden unbedingt können. Ansonsten hat man natürlich Schwierigkeiten komplexere Sachverhalte zu verstehen und zu berechnen.

Wenn du mit einer Grundlage Schwierigkeiten hast, dann ist das nicht tragisch, dann versuche aber die Grundlage erstmal zu verstehen bevor du dich an komplexe Aufgaben heran machst.

Die Videos bei matheretter.de vermitteln dir die wichtigen Grundlagen in didaktisch hochwertig Aufbereiteten Kurzvideos. Grundlagen der Analytischen Geometrie sind ebenfalls schon vorhanden. 

https://www.matheretter.de/mathe-videos

Answer 1

Monströs oder nicht. Ich beantworte dir hier mal eine der Fragen. vgl Schreibregeln (in der Fusszeile von Mathelounge.

Vektoren im folgenden fett. Statt Spalten resp. Vektorpfeile.

a.) Was ist der Unterschied zwischen der Parameterform und der Normalvektorform?

      Mal angenommen, ich müsste irgendeine Parametergleichung aufstellen. ( eine x- beliebige.) Wie mache ich das?

Gegenfrage:

1. Eine Parameterform für eine Gerade g oder eine Ebene E?

2. Sollst du in R^2 oder in R^3 arbeiten?

3. Was genau ist Normalenvektorform? Ich nehme mal an die Form, in der man direkt einen Nomalenvektor ablesen kann und bei der rechts der Gleichung 0 steht.

g: r = 0A + tAB                      Dabei sind A und B zwei beliebige (verschiedene) Punkte auf g.

Bsp. A(1,2,3) B(2,3,4). Hier ist 0A = (1,2,3), AB = (1,1,1)

Daher g: r = (1,2,3) + t (1,1,1)

Hier kannst du keine Normalform draus machen!

E: r = 0A + tAB + sAC                      Dabei sind A, B und C drei beliebige Punkte auf E.

Bsp. A(1,2,3) B(2,3,4), C(1,2,0) .

Hier ist 0A = (1,2,3), AB = (1,1,1), AC = (0,0,-3)

Daher E: r = (1,2,3) + t (1,1,1) + s(0,0,-3)

Um die Normalenformen zu erhalten, muss man erst einen Vektor bestimmen, der senkrecht auf den Richtungsvektoren stehe. Dazu nimmt man das Kreuzprodukt von AB und AC.

AB x AC = (-3-0, 3-0, 0-0) = (-3,3,0)

 

Da von diesem Vektor nur die Richtung interessiert, nehme ich n = (1,-1,0)

und habe den folgenden Ansatz für die Koordinatenform der Ebenengleichung

E : 1*x - 1*y + 0*z + d = 0. Nun Stützpunkt A einsetzen

1*1 - 1*2 + d = 0

1-2+d=0. -----> d=1

Ebenengleichung (Koordinatenform) E: x - y + 1 = 0.    

Da hier z nicht vorkommt, weisst du dass diese Ebene parallel zur z-Achse verläuft. Ihre Spur in der xy-Ebene hat die Gleichung x-y+1 = 0, oder umgeformt y = x+1.

 

Annahme, du möchtest das jetzt nur in R^2 (2-dimensional haben). Da brauchst du keine z-Komponente und du hast es nur mit Geraden zu tun. (Ebenen in der Ebene musst du nicht näher bestimmen, da gibt's nur eine!)

Nun kann man im obigen Beispiel einfach die z-Komponente ignorieren.

 

g: r = 0A + tAB                      Dabei sind A und B zwei beliebige (verschiedene) Punkte auf g.

Bsp. A(1,2) B(2,3). Hier ist 0A = (1,2), AB = (1,1)

Daher g: r = (1,2) + t (1,1)

Hier kannst du eine Koordiantenform der Geradengleichung erstellen!

Normalenvektor zu (1,1) ist zum Beispiel (1,-1)

Ansatz für die Koordinatenform der Geradengleichung:

1*x - 1*y + d = 0.  Stützpunkt A einsetzen

1*1 - 1*2 + d = 0

d=1

Geradengleichung:

Normalenvektorform: x-y+1 = 0 oder umgeformt:

Koordinatenform y = x+1.      k wäre also 1 und d ebenfalls.  

Zur Frage, warum das alles so ist, schaust du besser in ein Theoriebuch. Dort sind die Dinge schöner dargestellt.

Comments

"Ich beschäftige mich nun seit 2 Wochen mit diesen beiden Themen, und dass sind Fragen, die ich bis jetzt nicht lösen konnte.. Also hat das nichts damit zu tun, dass ich es mir einfach machen möchte :)"

Das behauptet auch niemand. Wenn man dir auf deine Fragen antwortet, kommen immer wieder unerklärliche Nachfragen, die den Eindruck hinterlassen, dass du die ganze Theorie anhand von vorgelösten Aufgaben zu begreifen versuchst. Damit kommst du meiner Erfahrung nach auf keinen grünen Zweig. Es ist effizienter, wenn du z.B. binomische Formeln erst mal im Theoriebuch anschaust und dort ein paar Aufgaben löst.

Und wie wandle ich diese Formen in die Koordinatenform kx+d um? 

Wenn etwas Gleichung heisst, enthält es zwingend ein Gleichheitszeichen. Du musst unbedingt 

y = kx+d schreiben, ansonsten wird dir eine richtige Antwort womöglich gar nicht angerechnet.

Answer 2

c.) Ich habe 2 Geraden gegeben:  g: X= ( 2/-2) + t ( 1/2)      und h: X = ( -1/2) + a * ( 3/1). Bestimme die gegenseitige Lage der Geraden ( zeichnerisch und rechnerisch.) 

Zeichnerisch habe ich bereits gelöst- hier ist natürlich sofort zu erkennen dass sich die beiden Geraden schneiden.  Rechnerisch würde ich die beiden Geraden also auch schneiden:  

2+ t = -1 + 3a 
-2 + 2t= 2* 1a..... etc. Bis ich dann den Schnittpunkt erhalte.

Wie wäre die Aufgabe zu lösen, wenn sich die beiden Geraden nicht schneiden? Das stelle ich mir so vor: Ich habe ein Beispiel, bei dem ich rechnerisch die gegenseitige Lage der Geraden feststellen soll. Nun schneide ich die beiden Geraden und komme zu keinem Ergebnis. Woher weiß ich, dass sie sich nicht schneiden? Ich habe noch nie ein Beispiel rechnen müssen, wo sich 2 Geraden nicht schneiden. Wie könnte dies aussehen? Erhalte ich dann für den Schnittpunkt ( 0/0)? Und wie merke ich, dass es 2 Schnittpunkte gibt?

 

Zwei Geraden (im Zweidimensionalen) deren Richtungsvektoren linear abhängig sind, sind echt parallel oder identisch. Im ersten Fall gibt es keine Lösung im zweiten unendlich viele. Wenn die Richtungsvektoren linear unabhängig sind muss man immer einen Schnittpunkt haben. [1, 2] und [3, 1] sind linear unabhängig und müssen sich daher schneiden.

Im Dreidimensionalen ist das etwas schwieriger. Sind dort die Richtungsvektoren linear abhängig, sind die Geraden echt parallel oder identisch. Sind die Richtungsvektoren linear unabhängig können sie sich schneiden oder windschief sein.

Hilfreich ist es zu jedem dieser Beispiele man ein paar Grundlagen durchzurechnen. Beispielaufgaben findet man in jedem Mathebuch zur analytischen Geometrie.