Als erstes berechnet man die Geradengleichung der ersten Bahn von Heli1: Dafür braucht man den Richtungsvektor B-A:
v = B-A = (30, 20, 0)
Dann gilt für die Geradengleichung:
g: x = (10, 20, 0.2) + t*(30, 20, 0)
Die Hälfte der Strecke ist bei t = 1/2 erreicht, also liegt der Punkt M bei:
M = (10, 20, 0.2) + 1/2*(30, 20, 0) = (25, 30, 0.2)
1.) Zeige dass der Heli den Kurs vor der Nebelfront ändert. Zu zeigen ist, dass der Schnittpunkt von g und E für t einen Wert größer als 1/2 annimmt, dann liegt M vor der Nebelfront.
Für den Schnittpunkt müssen die beiden Ortsvektoren gleichgesetzt und die Parameter eliminiert werden:
(20, 30, 14.2) + r*(-3, -2, 4) + s*(4, 1, -7) = (10, 20, 0.2) + t*(30, 20, 0)
Man erhält drei Gleichungen:
20 - 3r + 4s = 10+30t
30 - 2r + s = 20 + 20t
14.2 + 4r - 7s = 0.2
30t + 3r - 4s = 10 (I)
20t + 2r - s = 10 (II)
- 4r +7s = 14 (III)
Addiert man das (-2)fache der ersten Zeile zum dreifachen der zweiten Zeile, erhält man:
30t + 3r - 4s = 10
5s = 10
-4r +7s = 14
Also s = 2, eingesetzt in die dritte Gleichung ergibt sich r = 0
Damit erhält man für die erste Gleichung:
30t - 8 = 10 |+8
30t = 18 |:3
10t = 6 |:10
t = 0.6 > 0.5
Also liegt M vor der Nebelfront.
2.) Ermittle den Winkel.
Jetzt brauchen wir den zweiten Richtungsvektor: Der lautet C-M:
w = C-M = (25, 45, 0.25)-(25, 30, 0.2) = (0, 15, 0.05)
Für den Winkel gilt:
cos φ = <v, w>/(|v|*|w|)
(Hier bedeutet <v, w> das Skalarprodukt zwischen den Vektoren, das kann ich ja hier leider nicht so gut mit Pfeilen über den Buchstaben darstellen.)
<v, w> = (30, 20, 0)*(0, 15, 0.05) = 300
|v|² = 900 + 400 = 1300
|w|² = 225 + 0.0025 = 225.0025
|v|*|w| ≈ 540,836
cos φ ≈ 0.5547
φ ≈ 56.31°
3.) Berechne die Länge des zusätzlichen Weges:
Erstmal brauchen wir die Länge des alten Weges, die beträgt |v| ≈ 36.056
Die Länge des neuen Weges ist dann insgesamt:
L = |v|/2+|w|+|u|
Wenn u = B-C ist.
u = (40, 40, 0.2) - (25, 45, 0.25) = (15, -5, -0,05)
|u|² = 225 + 25 + 0.0025
|u| ≈ 15.811
Damit erhält man:
L ≈ 48.839
und für die Differenz:
d = L - |v| ≈ 12.783
4.) Jetzt müssen die Geraden f (vom 2. Heli), h (vom 1. Heli nach der ersten Kursänderung) und k (vom 1. Heli nach der zweiten Kursänderung) und jeweils deren Schnittpunkte berechnet werden. Damit die Hubschrauber nicht kollidieren können gibt es drei Möglichkeiten:
I) Die jeweiligen Geraden sind windschief und schneiden sich nicht.
II) Die Geraden schneiden sich bei einem Parameter kleiner als 0: dieser Punkt läge in der Vergangenheit und ist damit irrelevant.
III) Die Geraden schneiden sich bei einem Parameter größer als 1: dieser Punkt liegt hinter dem Zielpunkt und ist damit irrelevant.
f: x = (40, 40, 0.2) + c*(35, 5, 0.05)
h: x = (25, 30, 0.2) + e*(0, 15, 0.05)
k: x = (25, 45, 0.25) + i*(15, -5, -0.05)
Schnittpunkte:
f und h: (40, 40, 0.2) + c*(35, 5, 0.05) = (25, 30, 0.2) + e*(0, 15, 0.05) |-(25, 30, 0.2)
(15, 10, 0) + c*(35, 5, 0.05) = e*(0, 15, 0.05)
Ergibt das Gleichungssystem:
15 + 35c = 0
10 + 5c = 15e
0.05c = 0.05e
Aus der dritten Gleichung folgt c=e. Das kann man in die zweite Gleichung einsetzen und erhält:
10 + 5e = 15e |-5e
10 = 10e |:10
e = 1
Eingesetzt in die erste Gleichung ergibt sich der Widerspruch 50 = 0. Also sind die Geraden windschief -> es gibt keinen Schnittpunkt und damit auch keine Kollision.
f und k: (40, 40, 0.2) + c*(35, 5, 0.05) = (25, 45, 0.25) + i*(15, -5, -0.05) |-(25, 45, 0.25)
(15, -5, -0.05) + c*(35, 5, 0.05) = i*(15, -5, 0.05)
15 + 35c = 15i
-5 + 5c = -5i
-0.05 + 0.05c = 0.05i
Dieses Mal erhält man aus der letzten Gleichung: i= c-1 Eingesetzt in die anderen beiden Gleichungen:
15 + 35c = 15c - 15
-5 + 5c = -5c + 5
20c = -30
10c = 10
Wie man direkt sieht ergibt sich ein Widerspruch. (Z.B. indem man die zweite Gleichung zweimal von der ersten abzieht, das ergibt 0 = -50)
Also sind auch f und k windschief, es gibt keinen Schnittpunkt und damit keine Kollision.
