linear unabhängig - Probleme es zu verstehen, brauche klarheit um weiter arbeiten zu können.

Question

Was weiss ich?
linear unabhängig sind sie, wenn sie nicht auf einer Ebene sind gemäss Schaubild. So etwa wie wenn nicht alle drei Stifte auf dem Pult liegen sondern einer zum Beispiel steht und nach oben zeigt.

Wo habe ich Probleme und wieso will ich es wissen?
Es geht darum, dass ich bei eben den Begriffen klarheit schaffen will, weil ich gerade mit dem Modul Vektorrechnungn gestartet habe und als nächstes Basis und Dimension eines geometrischen Raums, Rechnen mit Koordinaten, Beträge und Abstände zwischen Punkten und Teilung einer Strecke ansteht.

Aber ich will es ja so oder so können. 

Ich weiss nicht wie man den Pfeil für das Kennzeichnen hier über den Buchstaben schreibt, aber a,b,c sind Vekrtoren und der Nullvektor 0 ist auch ein Vektor. Ich hoffe ihr kommt draus. 

Lineare Unabhängigkeit:

Defintion zwei Vektoren
Zwei Vektoren,  a und b sind linear unabhängig, wenn damit nur die triviale Nullsumme gebildet werden kann.

λa + μb = 0 mit λ = μ = 0

So wie oben steht es im Buch. 

Meine Frage dazu:
Also was ist die triviale Nullsumme? Das bedeutet, also dass wenn ich lambda und mü als 0 wähle bin ich beim Nullvektor 0, wenn ich also mit den Koordinaten arbeite heisst dass, dass ich im Ursprung bin?  

Was setzt das voraus? Setzt das Voraus dass die zwei Vektoren also kollinear sind ? Ich komme ja auch auf den Nullvektor indem ich Lambda und Mü = 0 wähle wenn die beiden Vektoren nicht kollinear sind. 
Habe ich echt noch ein Durcheinander.

Definition drei Vektoren
Drei Vektoren a, b  und c sind linear unabhängig, wenn nur die triviale Nullsumme möglich ist. 

λa + μb +νc = 0 mit λ=μ=ν=0

Mein erster gedanke zu "nur die triviale Nullsumme möglich" war, dass die Vektoren a,b,c einen bestimmten Betrag haben und eine bestimmte Richtung die so ist, damit egal wie ich die Vektoren a,b,c anordne bzw. addiere,  ich immer die triviale Nullsumme bekomme.

Aber es setzt ja wie bei der Definition steht voraus, dass Lambda, Mü und v = 0 sind. Wenn also Null mal a und Null mal b und Null mal c gerechnet wird, bekomme ich ja soweiso gemäss Skalarprodukt Null.

Ich komme also gar nicht nach.

Answer 1

Die triviale Nullsumme hast du immer bei λ = μ = 0. Weil dann ja immer 0 heraus kommt.

a * [1, 0] + b * [0, 1] = [0, 0]

gilt nur für den trivialen Fall a = b = a

Wenn nur der triviale Fall gilt, sind die Vektoren linear unabhängig. Ich ändere die Gleichung

a * [1, 0] + b * [2, 0] = [0, 0]

Hier gilt nicht nur der triviale Fall sondern auch a = -2 und b = 1. Wenn es außer dem trivialen Fall noch andere Lösungen gibt, dann sind die Vektoren linear abhängig.

Comments

Also, das heisst
a*v1 + b*v2 = 0  ist linear unabhängig wenn ausschliesslich die triviale Nullsumme möglich ist - was wiederum heisst dass ich a=b=0 in meinem Beispiel wählen muss.

Sollte es allerdings möglich sein, die Nullsumme durch linearkombination zu bilden ohne dass a=b=0 sind, sind die Vektoren v1 und v2 linearabhängig.

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Genau. Und so ist das nicht nur bei 2 Vektoren sondern auch bei 3, 4 oder 5.

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Gibt es einen Trick, wie ich das sofort erkennen kann, ich kann ja immer sagen  λ = μ = 0. ODer kann ich zum besipiel schauen sind die Vektoren kollinear, komplaner etc... und daraus Schlüsse für die lineare Unabhängigkeit ziehen ?

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Der Nullvektor ist immer linear abhängig zu einem anderen Vektor.

Die Vektoren U und V (die keine Nullvektoren sind) sind linear abhängig wenn V ein vielfaches von U ist.

Drei Vektoren U, V und W (die keine Nullvektoren und paarweise linear unabhängig sind) sind linear abhängig wenn W eine Linearkombination aus U und V ist.