Ungleichung mit Beträgen und Bruch

Question

|2x+15 |/ |2x-15 | < 3

ich weiß leider nicht mehr weiter, ich habe versucht die 4 Fälle aufzustellen.

Mein Endergebnis wäre L {15< x < -7,5} also damit will ich eigentlich sagen, dass x nicht in dem Intervall [-7,5,15] liegen darf. Ich hab auch einige Proben versucht und dachte es ist richtig bis ich dann die Probe mit x= -2,5 versucht habe und -0,5 rausgekommen ist. Also stimmt mein Ergebnis leider nicht.

Mfg

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Alternativ gilt nach quadrieren \(9(2x-15)^2-(2x+15)^2>0\), d.h. \((4x-15)(x-15)>0\).

Answer 1

|2x+15| / |2x-15| < 3              D = ℝ \ {15/2}

für die Fallunterscheidung zur Auflösung der Beträge benötigt man Intervalle, in denen sich das Vorzeichen der Terme in beiden Beträgen nicht ändert. Diese Intervalle werden durch die Nullstellen der Terme im Betrag begrenzt:

x₁ = - 15/2 ;  x₂ = 15/2

    x           - ∞                    -15/2                              15/2                    ∞

2x+15                    -                                 +                                 +

2x-15                     -                                 -                                 +

Bei den Minuszeichen ist  | Term |  = - Term, bei + ist   |Term| = Term

1. Fall  x ∈ ] - ∞ ; -15/2 [

(-2x-15) / (-2x+15) < 3    | * (-2x+15) > 0

-2x -15 < -6x + 45

4x < 60

x < 15

L ₁ =  ] - ∞ ,  -15/2 [

2. Fall  x ∈ [ -15/2 , 15/2 [

(2x+15) / (-2x+15) < 3    | * (-2x+15) > 0

2x +15 < -6x + 45

8x < 30

x < 15/4

L₂ = [ -15/2 , 15/4 [ 

3. Fall  x ∈ ] 15/2 , ∞ [

(2x+15) / (2x-15) < 3     | * (2x-15) > 0

2x +15 < 6x - 45

60 < 4x

15 < x

L₃ = ] 15 , ∞ [

L = L₁ ∪ L₂ ∪ L₃  =  ] - ∞ , 15/4 [ ∪  ] 15 , ∞ [  

Gruß Wolfgang

  

                                

Answer 2

Fall 1:  2x + 15 >= 0 und 2x – 15 >= 0:
(2x + 15) / (2x – 15) < 3
   => 2x + 15 < 6x - 45
   => 60 < 8x
   => x > 7,5
Gemäß Obigem muss gelten:  2x >= -15, x >= -7,5, und 2x >= 15, x >= 7,5.
Fall 1 Zusammenfassung aller Bedingungen:  x > 7,5

Fall 2:  2x + 15 > 0 und 2x – 15 < 0
Fall 3:  …
Fall 4:  …

Wie sind deine Lösungen für die Fälle 2 bis 4?

Answer 3

Vorschlag:
$$\frac{ |2x+15 |}{|2x-15 | }< 3 $$
$$x\gt \frac {15}2$$
$$x\ne \frac {15}2$$
$$x\lt \frac {15}2$$
$$x\ge \frac {-15}2$$
$$x\lt \frac {-15}2$$
Fall A:
$$x\lt \frac {-15}2$$ $$\frac{ -(2x+15) }{-(2x-15 ) }< 3 $$
Fall B:
$$\frac {-15}2 \le x\lt \frac {15}2$$
$$\frac{2x+15 }{-(2x-15 ) }< 3 $$
Fall C:
$$x\gt \frac {15}2$$ $$\frac{ 2x+15 }{2x-15  }< 3 $$

Answer 4

| 2x+15 | / | 2x-15 | < 3    | *  | 2x-15 |

da | 2x-15 | positiv ist belibt das Relationszeichen erhalten
| 2x+15 | < 3 * | 2x-15 |

Quadrieren . Da auf beiden Seiten positives steht
belbt das Relationszeichen erhalten. Außerdem
gilt | a | < | b |   => a^2 < b^2

( 2x+15 )^2 < 3^2 * ( 2x-15 )^2

Und nun ausrechnen.

mfg Georg

Comments

ich weiß leider nicht mehr weiter, ich habe
versucht die 4 Fälle aufzustellen.

Wenn du konventiell rechnen willst empfiehlt
es sich, um die Übersicht zu wahren, die
gefundenen Änderungspunkte der
Bertragsfunktionen auf einem Zahlenstrahl
einzuzeichen und diese dann
nacheinander abzuarbeiten.

Bin bei Bedarf gern noch weiter behilflich.