Wie wird folgendes bsp integriert? f(x) = 3x*e^{x^2}

Question

3x*e^x^2

ich weiß, dass man die Substitutionsmethode anwenden muss, komm aber nicht auf das richtige

Ergebnis.

Comments

Substituiere  u = x^2.

du/ dx = 2x

1/2 du = x * dx

Also gleich dann auch

x*dx durch 1/2 du ersetzen

Answer 1

f(x) = 3·x·EXP(x^2)

Nimm mal Testweise

F1(x) = EXP(x^2)

F1'(x) = 2·x·EXP(x^2)

Das stimmt jetzt schon fast bis auf den Faktor. Daher macht man noch eine Anpassung

F2(x) = 3/2·EXP(x^2)

F2'(x) = 3/2·2·x·EXP(x^2) = 3·x·EXP(x^2)

Damit hat man die Stammfunktion gefunden.

Geht auch mit Substitution

∫ (3·x·EXP(x^2)) dx

Subst z = x^2

1 dz = 2x dx --> dx = 1/(2x) dz

∫ (3·x·EXP(z)) 1/(2x) dz

∫ (3/2·EXP(z)) dz

= 3/2·EXP(z) + C

Resubst.

= 3/2·EXP(x^2) + C

Das ist aber vom Schreibaufwand mehr als die erste Überlegung. Wobei du bei der ersten Überlegung generell etwas platz lässt für einen Vorfaktor.

Answer 2

∫  3x * e^{x^2} dx  

 Setze z = x²    →   z '  =   dz/dx = 2x   →  dx = dz / (2x)  

Beim Einsetzen kürzt sich x weg

∫ 3/2 e^z dz  =  3/2 e^z  =  3/2 * e^{x^2} + C    [ C = Integrationskonstante ] 

Gruß Wolfgang