Extremwertaufgabe: Volumen Drehzylinder

Question

Servus Leute

ich hätte da eine Frage bezüglich einer Extremwertaufgabe, bei der ich eure Hilfe benötige.

Aufgabe:

Welcher Drehzylinder hat bei gegebenem Volumen V die kleinste Oberfläche O?

HB. 2*r*pi*h +2*r^2*pi = Oberfläche als Hauptbedingung zu setzten ( minimal)

NB:

Mein erster Schritt war, V = r^2 * pi * h  minimal als HB zu setzen.

Auf h umformen und in HB einsetzen

1.Ableitung gebildet und r = 3.Wuirzel √ V/2pi heraus bekommen

Dann die Formel für r in die umgeforte Formel für h eingesetzt und dann

h und r in die Hauptbedingung eingesetzt : O und nun einfach umgeformt

aber irgenwie kommt da voll der Blödsinn heraus.

Bitte um eure Hilfe.

Ciao Rellis

Answer 1

Ein Zylinder mit gegebenem Volumen soll eine minimale Oberfläche haben.

Nebenbedingung

V = pi·r^2·h

h = V/(pi·r^2)

Hauptbedingung

O = 2·pi·r·h + 2·pi·r^2

O = 2·pi·r·(V/(pi·r^2)) + 2·pi·r^2

O = 2·pi·r^2 + 2·V/r

Extremstellen O' = 0

O' = 4·pi·r - 2·V/r^2 = 0

4·pi·r^3 - 2·V = 0

4·pi·r^3 = 2·V

r = (V/(2·pi))^{1/3}

h = V/(pi·r^2) = V/(pi·((V/(2·pi))^{1/3})^2) = (4·V/pi)^{1/3} = 2·r

Comments

hallo Mathecoach,

Danke für die detaillierte Antwort, kann ich echt gut verstehen.

Als letzten Schritt setze ich einfach noch r und h in die obrige Formel für die Oberfläche ein oder?

Als Lösung kommt übrigens

 

heraus.

Leider komme ich aber nicht auf dieses Ergebnis.

Könntest du mir da bitte noch helfen.

Danke dir im Voraus.

Ciao Rellis :-)

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Deine Lösung macht doch eigentlich keinen Sinn. Sowohl auf der rechten als auch auf der linken Seite ist ein O für die Oberfläche.

r = (V/(2·pi))^{1/3}

Das Einsetzen in die Hauptbedingung

O = 2·pi·((V/(2·pi))^{1/3})^2 + 2·V/((V/(2·pi))^{1/3})

O = (54·pi·v^2)^{1/3}