An welcher Stelle muss von der Straße geradlinig abgezweigt werden, damit die Grabungskosten K minimal werden?

Question

Optimierungsaufgabe:

Vom Campus C aus soll zu einem Studentenwohnheim S eine Glasfaserleitung verlegt werden (siehe Skizze). Die erforderlichen Grabungen kosten entlang der Straße 1 [1000 €/m] und quer über das angrenzende Grundstück 1,2 [1000 €/m]. An welcher Stelle D muss von der Straße geradlinig abgezweigt werden, damit die entstehenden Grabungskosten K minimal werden? Stellen Sie die zu minimierende Funktion auf, und berechnen Sie die Ableitung.

 

Mir fehlt hier der Ansatz, also überhaupt der Weg, die Funktionsgleichung aufzustellen.

Answer 1

K = 1·(800 - x) + 1.2·√(x^2 + 200^2)

K = 1.2·√(x^2 + 40000) - x + 800

K' = (6·x - 5·√(x^2 + 40000)) / (5·√(x^2 + 40000)) = 0

6·x - 5·√(x^2 + 40000) = 0 --> x = 301.5 m

Answer 2

Das Stück zum Preis von 1 GE sei r, das Stück zum Preis von 1,2 GE sei s. Dann gilt r=800-x und s= √(x²+200²). K=r+1,2s, also K(x)=800-x+1,2√(x²+200²). Nun das Übliche: Nullstellen der ersten Ableitung etc.