Wieso beweise ich so die abgelossenheit der Permutation?

Question

ich bearbeite gerade die Gruppenaxiome folgender Permutation (siehe Anhang)

Für die Abgeschlossenheit einer Gruppe gilt ja ab=ba, soweit ist alles okay, aber wieso wird dann die Verknüpfung von sigma und pi mit ^{-1} bewiesen? Ich verstehe leider den Zusammenhand nicht :/ denn wenn ich ^{-1} sehe, dann denke ich eher an der inverse Element, aber es geht doch um die Abgeschlossenheit :(

Kann mir jemand aus dem dunklen raus helfen ? :)

Ein großes Dankeschön schon mal an alle :)

Comments

Nachtrag:

Oh Entschuldigung, ich sehe gerade das ich einen Fehler gemacht habe und zwar gilt ja für die Abgeschlossenheit: a,b∈G => ab∈G und nicht ab=ba, das wäre ja das Kommutativgesetz :/ tut mir sehr leid 

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Können wir davon ausgehen, dass dann alles geklärt ist ?

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nein leider nicht :/ ich hatte mich leider nur bei meiner Frage verschrieben :(

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Vergleiche meine Antwort.

Answer 1

Hallo Ayleen,

Das Bild macht Sinn.

Nach a) Abgeschlossenheit:

1.Zeile:  Voraussezung,  nach (?) Behauptung

2 Zeile. Es wird begründet, dass σ o π eine Abbilung von X → X  ist,

3.Zeile:   σ o π  hat  (wegen der Bijektivität von σ und π )  die Umkehrabbildung               (σ o π) ^-1 =  π ^-1 o  σ ^-1

Zeile 4:  Die Hintereinanderausführung von σ o π  und dieser Umkehrabbildung               ist die identische Abbbildung,

Deshalb ist  σ o π bijektiv 

Daraus folgt,  dass σ o π ∈ G  gilt.

 Wenn noch etwas unklar ist: Was genau verstehst du  nicht?

Gruß Wolfgang

Comments

also muss man nur wegen der bijektivität, die Umkehrabbildung darstellen, habe ich das richtig verstanden?

und wenn ja weshalb ist das so? mir fehlt irgendwie das Verständnis dafür

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Man kann es i.A. auch anders versuchen, aber

für eine Abbildung  f: X → X  gilt:

wenn die Verkettung f o f ^-1 einer Abbildung f mit ihrer Umkehrabbildung f ^-1

 - wie hier - die identische Abbildung ist, dann ist f bijektiv.

> weshalb ist das so?

Die Bildmenge von f ist dann gleich der Wertemenge X und deshalb hat jedes Element der Wertemenge ein Urbild in der Definitionsmenge X, was genau die Definition von " f ist bijektiv " darstellt.

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jetzt habe ich es verstanden :) vielen herzlichen dank :) :)