Untersuchen Sie f auf lokale Extremstellen. f : ℝ^2 → ℝ: (x y) ↦ x^2 *(y^2 -1) -2y

Question

Es sei f : ℝ² → ℝ: (x y) ↦ x² *(y² -1) -2y

Untersuchen Sie f auf lokale Extremstellen.

Answer 1

f(x, y) = x^2·(y^2 - 1) - 2·y = x^2·y^2 - x^2 - 2·y

f'(x, y) = [2·x·(y^2 - 1), 2·x^2·y - 2] = [0, 0]

2·x·(y^2 - 1) = 0 --> x = 0 ∨ y = -1 ∨ y = 1

2·x^2·y - 2 = 0 --> x^2·y = 1

Es gibt daher folgende zwei Lösungen

(x = -1 ∧ y = 1) ∨ (x = 1 ∧ y = 1)

Jetzt sollte aber noch untersucht werden ob das Extrempunkte sind.

Answer 2

Hi,

es muss gelten $$ \nabla_{x,y} f(x,y) = \begin{pmatrix} 2x(y^2-1)\\2x^2y-2 \end{pmatrix}  = 0  $$
Diese Gleichungen haben die reellen Lösungen \( x = \pm 1 \) und \( y = 1 \)

Die Hessematrix lautet
$$ H(x,y) = \begin{pmatrix}  2y^2-2 & 4xy \\ 4xy & x^2 \end{pmatrix} $$
Die Eigenwerte von \( H(1,1)=\begin{pmatrix}  0 & 4 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} \) sind \( \sqrt{17}+1 \) und \( 1 - \sqrt{17} \) ebenso die die Eigenwerte von \( H(-1,1) \)
Damit ist die Hessematrix indefinit und die identifizierten kritischen Punkte sind Sattelpunkte.