Partielle Integration (Sin^3*x dx)

Question

Sin^3x dx Davon muss ich die Stammfunktion bilden, jedoch hat sin doch auch ein x oder?

Comments

Ja, ohne x im Sinus macht es keinen Sinn.

 Heißt die Funktion sin^3(x)*x oder sin^3 (x)? Schau bitte nochmal in der Originalaufgabenstellung nach.

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Sin^3*x dx. Ich muss hier eine Stammfunktion bilden und habe keine Ahnung wie, weil da ja ein X fehlt.

(Falls jemand wieder fragt: Es ist kein Fehler in der Aufgabenstellung!)

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Sin³*x dx

ist mathematisch unsinnig.

Es muß heißen ( ist dasselbe )

[ sin ( x ) ] ^3

oder

sin^3 ( x )

oder

sin ( x ) * sin ( x ) * sin ( x )

Answer 1

∫ SIN(x)^3 dx = ∫ SIN(x)·SIN(x)^2 dx

∫ SIN(x)^3 dx = -COS(x)·SIN(x)^2 - ∫ -COS(x)·2·SIN(x)·COS(x) dx

∫ SIN(x)^3 dx = -SIN(x)^2·COS(x) + ∫ 2·SIN(x)·COS(x)^2 dx

Wir kümmern uns zunächst um das neu entstandene Integral

∫ 2·SIN(x)·COS(x)^2 dx = 2·(-COS(x))·COS(x)^2 - ∫ 2·(-COS(x))·2·COS(x)·(-SIN(x)) dx

∫ 2·SIN(x)·COS(x)^2 dx = -2·COS(x)^3 - ∫ 4·SIN(x)·COS(x)^2 dx

∫ 2·SIN(x)·COS(x)^2 dx = -2·COS(x)^3 - 2·∫ 2·SIN(x)·COS(x)^2 dx

3·∫ 2·SIN(x)·COS(x)^2 dx = -2·COS(x)^3

∫ 2·SIN(x)·COS(x)^2 dx = -2/3·COS(x)^3

Jetzt betrachten wir erneut das Ausgangsintegral

∫ SIN(x)^3 dx = -SIN(x)^2·COS(x) + ∫ 2·SIN(x)·COS(x)^2 dx

∫ SIN(x)^3 dx = -SIN(x)^2·COS(x) - 2/3·COS(x)^3

∫ SIN(x)^3 dx = -COS(x)·(SIN(x)^2 + 2/3·COS(x)^2)

∫ SIN(x)^3 dx = -COS(x)·(1/3·SIN(x)^2 + 2/3·SIN(x)^2 + 2/3·COS(x)^2)

∫ SIN(x)^3 dx = -COS(x)·(1/3·SIN(x)^2 + 2/3·(SIN(x)^2 + COS(x)^2))

∫ SIN(x)^3 dx = -COS(x)·(1/3·SIN(x)^2 + 2/3)

∫ SIN(x)^3 dx = -1/3·COS(x)·(SIN(x)^2 + 2)

Answer 2

ohne partielle Integration;

f(x)=sin^3(x)=sin(x)(1-cos^2(x))=sin(x)-sin(x)*COS^2(x)

F(x)=-COS(x)+1/3cos^3(x)