Grenzwert x->∞ von ^n√(2^n +e^n +3^n) bestimmen

Question

Grenzwert bestimmen: √
Lim x→∞  ⁿ√(2^n +e^n +3^n)
Ergebnis wäre 3, nur verstehe ich nicht wie man darauf kommt... Bitte um Hilfe
EDIT: Nachtrag in Kommentar: 

Answer 1

Lim x→∞  ⁿ√(2ⁿ +eⁿ +3ⁿ)

Der Ausdruck ⁿ√(2ⁿ +eⁿ +3ⁿ) haengt gar nicht von x ab. Da ist es ziemlich witzlos, x→∞ laufen zu lassen.

Falls n→∞ gemeint ist, kommt e raus, nicht 3.

Comments

Sollte natürlich n→∞ heißen... Aber, dass e raus kommen müsste, überrascht mich nun ein wenig, da in der Lsg des Tutoren eindeutig 3 steht. Könntest du mir erläutern, wie man auf e kommt ? Unten angefügt, die Aufgabe mit der vermeintlichen Lösung, die letzten 2 Grenzwertbestimmungen erschließen sich mir auch nicht, aber hoffe mal die stimmen

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Bleiben wir lieber bei einer Aufgabe. Es gilt allgemein für nichtnegative a, b, c: $$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a^n+b^n+c^n}=\max\{a,b,c\}.$$ Sei o.B.d.A. \(a\) das Maximum. Dann hat man $$\sqrt[n]{a^n}\le\sqrt[n]{a^n+b^n+c^n}\le\sqrt[n]{3a^n}.$$

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Ok, aber max {2,e,3} = 3, da 2<e=2,7...< 3 oder nicht ?

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Da ist was dran. Muessen sich wohl kurzfristig ein paar Hirnzellen verknotet haben ...

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Dennoch vielen Dank für die Begründung ;) Wenn du mir mit den letzten beiden noch helfen könntest, wäre echt super, eventuell auch nur n Tipp zum Verfahren, welches ich da anwenden sollte...

Answer 2

beim vorletzten vielleicht so :

√n³   -  √ ( n³ - √n³   )    mit    √n³   + √ ( n³ - √n³   )   erweitern gibt


( n³   -   n³+  √n³   )   /   (   √n³   + √ ( n³ - √n³   ) )

=    √n³      /   (   √n³   + √ ( n³ - √n³   ) )     mit     √n³    kürzen 

=  1 /   (  1   +    √ ( ( n³   - √n³   )/ n³  )

=   1 /   (  1   +    √  ( 1  -  1 / √n³  )  ) und das geht gegen 0,5.

Beim letzten die Klammern auflösen und mit n√n  kürzen.