Hallo Jana (?),
f(x) = x2 · e-0,5x+2
mit der Produktregel erhält man:
f '(x) = x * e-0,5x+2 * (2 - 0,5 x)
f "(x) = e-0,5x+2 * (0,25 x2 -2x + 2)
Nullstelle: x=0
Grenzwerte: limx→∞ f(x) = 0 weil die e-Funktion (→0) das Polynom überwiegt
limx→-∞ f(x) = ∞
Extremwerte:
f '(x) = 0 ⇔ x=0 mit Vorzeichenwechsel - → + → lokales Minimum T(0|0)
oder 2 - 0,5x = 0 ⇔ x = 4 mit Vorzeichenwechsel + → - → lokales Maximum H(416)
Wendepunkte: f "(x) = 0 ⇔ 0,25 x2 -2x + 2 = 0 ⇔ x2 - 8x + 8 = 0
pq-Formel → x1 = 4 - 2·√2 ; x2 = 2·√2 + 4 [ y-Werte durch Einsetzen in f(x) ]
Die Antworten kann man zum Teil im Graph ablesen.
a) f "(1,8) ≈ - 2,37 ist negativ
b) f '(4,21) ≈ - 0.398 ≠ -2,23
c) f "(4,41) ≈ -1.595 < 0 → konkav
d) f '(5,32) ≈ -1.815 < 0 → fallend
e) f '(0) = 0 und f "(0) = 2e2 > 0 → lokale Minimalstelle x=0
Gruß Wolfgang