Die Reihe auf Konvergenz untersuchen für 0 < q < 1: Σ_{n≥2} q^{log(log(n))

Question

Ich muss die Reihe irgendwie auf Konvergenz untersuchen... ich weiß dass sie divergiert (aus Lösungen) aber wie kommt man da drauf?

Die Folge konvergiert, wegen der Potenz, die für 0 < q < 1 und n -> ∞ gegen 0 geht und die Reihe divergiert, weil ja alles aufsummiert dann für n gegen ∞ die Reihe gegen ∞ geht

$$\sum _{n\geq 2} q^{\log(\log(n))}$$

Aber wie geht das Schriftlich mit welchem Kriterium (vielleicht Wurzelkriterium)?

Comments

Dein Argument verstehe ich nicht und das Reihenglied hast Du irgendwie eh vermurkst. \(\log\log n\) soll im Exponenten stehen?

Falls ja, geht es z.B. mit dem Integralkriterium so aehnlich wie hier:

https://www.mathelounge.de/425327/warum-divergiert-diese-reihe-wie-zeige-ich-das

Answer 1

Hallo Knightfire, wie Fakename schon geschrieben hat, kann man hier das Integralkriterium verwenden.  Das klappt wunderbar.  Wenn du Fragen hast, frag ruhig.  Ich schreibe das hier als Antwort statt als Kommentar; damit steht die Frage nicht länger in der Liste der offenen Fragen.

Übrigens ist deine Formel falsch.  Korrekt ist
$$ \sum _{ n=2 }^{ \infty  }{ { q }^{ ln(ln(n)) } } $$.

Comments

ne es ist schon log gemeint nur lim davor war falsch...

Integralkriterium? nie davon gehört... wie schreib ich das genau auf kannst du das mir kurz zeigen.. denn dass die reihe divergiert kann man ja sehen, dadurch, dass die folge die notw. bedingung nicht erfüllt und nicht gegen 0 konvergiert...  

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EDIT: Handelt es sich denn um diese Aufgabe und lim soll ln sein?

https://www.mathelounge.de/425327/warum-divergiert-diese-reihe-wie-zeige-ich-das

Lies mal die Antwort dort.

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Hallo Knightfire, zu deiner ersten Bemerkung:  Wenn log gemeint ist, also der Logarithmus, dann hast du vergessen, die Basis anzugeben.  Siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus.  Solange ich die Basis nicht kenne, gehe ich von der Basis e aus und schreibe ln (natürlicher Logarithmus).

Zu deiner dritten Bemerkung:  Die Folge q^ln(ln n) konvergiert gegen null.  Nehmen wir z. B. q = 0,5.  ln(ln n) geht für n gegen unendlich gegen unendlich.  0,5 ^ unendlich geht gegen 0.

Zu deiner zweiten Bemerkung:  Das Integralkriterium wird in Wikipedia beschrieben.  Damit gilt:

$$ \sum _{ n=2 }^{ \infty  }{ { q }^{ ln\quad (ln\quad n) }\quad =\quad \int _{ x=2 }^{ \infty  }{ { q }^{ ln\quad (ln\quad x) } }  } dx $$

Sorry, es muss größer gleich heißen.

Kannst du das Integral lösen?

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zu Lu eine ich meinte lim ist ganz fehl am platzt.. habs bestimmt lauter stress falsch getippt...

zu RomanGa...

klar da sollte am ende als aussage -> ∞ rauskommen? wenn ja ist es dann das kriterium für divergenz in diesem fall?

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Ja, das Integral divergiert und damit auch die Reihe.

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Bitte sehr, jederzeit gerne wieder.