Ein Dreieck ABC, die Gleichung der Höhe hc in Parameterform, hc in Normalenform,

Question

Aufgabe:

Ein Dreieck ABC mit folgenden Punkten ist gegeben. 

A(2 I 0), B( 4 I 1) und C(0 I 6) 

a) Berechnen sie die Gleichung der Höhe h_(c) in Parameterform. 
die h_(c) ist die Normale zu AB 

muss ich dann zuerst einen Ortsvektor zum Punkt A senden, und dann kAB

r_(hc) = r_(A) + k*AB

b) Berechnen sie die Gleichung der Höhe hc in Koordinatenform

Hier hab ich zwei Ansätze, 

1. der Vektor AB hat die Steigung 2, das bedeutet dass di Normale senkrecht zu AB sein muss
-> m_(AB)*m_(hc) = -1
-> 2*m_(hc) = -1 
-> m_(hc) = -1/2

2. Ansatz per Koordinatengleichung 

ax+by+c = 0

dann sind a und b die Komponenten des Nullvektors aber ich komme nicht auf die Koordinatengleichung von hc 


c) Zeigen Sie mir beiden Formen der Geradengliechung dass der Punkt P(+ I -4) auf der Höhe h_(c) liegt undd ass der Punkt Q(3 I 1) nicht darauf liegt. 


Mein Problem

Ich denke wenn ich es schaffen würde auf die Parametergleichung zu kommen, hätte ich b und c irgendwie geschafft.

Aber für die Parameterform muss ich ja einen Ortsvektor zu einem bestimmten Punkt schicken, in diesem Fall irgendein Punkt zb dem Schnittpunkt von h_(c) mit AB aber diesmal bin ich echt überfordert und wäre für jede Hilfe dankbar!

Comments

Ich weiss jetzt hier nicht wie ich an die Paarameterform von h_(c) komme weil das die Normale zu AB ist. 

Also ich hätte rein grafisch gedacht es wäre eventuell so:

Aber dann fehlt mir das h_(c)

Answer 1

Hallo limonade,

g_AB :   \(\overrightarrow{x}\) = \(\overrightarrow{a}\) + r * \(\overrightarrow{AB}\)  =  [2, 0]  +  r * [2, 1]

Normalenvektor \(\overrightarrow{n}\) von  g_AB     \(\overrightarrow{n}\)  =  [1, -2]

a)

Lotgerade l durch C ( = Höhengerade):     \(\overrightarrow{x}\)  =  [0, 6] + s * [1, -2]

[ Der Schnittpunkt von g_AB und l  ist der Höhenfußpunkt  H  # ]  

b)  

Normalenform ⇔ Koordinatenform

Normalenvehtor der Höhengerade ist der Richtungsvektor von \(\overrightarrow{AB}\)

 [2, 1] * [x, y] -  [2, 1] * [0, 6]  = 0   ⇔  2·x + y - 6 = 0

c)  

Punkte in Gleichungen einsetzen

#

Eine Koordinate von P(+? I - 4) fehlt leider. Er kann aber nicht auf der Strecke CH = h_C liegen.

Da Q  nicht auf der Höhengeraden liegen, erübrigt sich die Überprüfung, ob er auf der Strecke CH = h_C liegen.

Gruß Wolfgang

Comments

Vielen Dank, ganz am Anfang schreibst du die Parameterform g(AB) mit dem Richtungsvektor AB

Wie siehst do sofort was der n Vektor ist, wie kommst du vom Richtungsvektor AB = (2,1) zur Normalenvektor (1, -2) ? 

---

Die fehlender Koordinate des Punktes P ist 1 also P ( 1 I -4 ) 

Vielen Dank aber ! 

---

> wie kommst du vom Richtungsvektor AB = (2,1) zur Normalenvektor (1, -2) ? 

Das Skalarprodukt  AB * n muss = 0 sein  ( AB ⊥ n )

(2,1) * (1, -2) = 2*1 + 1*(-2) = 0

und 

immer wieder gern, aber das weißt du ja schon :-)