Beweis, dass 3 Teiler ist von n^3 + 2n . Also: A(n): 3 Ι (n^3 + 2n) für alle n ∈ ℕ

Question

habe hier einen Beweis zu einer Aufgabe durchgeführt, dessen Richtigkeit ich aber nicht überprüfen kann.

Es soll bewiesen werden: 3 Ι n³ + 2n    für alle n ∈ ℕ \ {0}

IA: 3 Ι 1 +2 wahre Aussage

 IV: Es gelte die Aussage A(n): 3 Ι (n³ + 2n) für alle n ∈ ℕ

IS: Annahme, A(n) gilt

     A(n+1) = 3 Ι (n + 1)³ + 2(n + 1)

                 = 3 Ι n³ + 3n² + 5n + 3

                 = 3 Ι n³ + 2n + 3n² + 3n + 3

Nach der IV is n³ + 2n durch 3 teilbar. 3n² & 3n sind Vielfache von 3, daher auch teilbar, 3 auch.

Damit ist A(n + 1) wahr, und aus der IV & dem IS folgt, dass A(n) für alle n ∈ ℕ gilt.

                                                                                                                                             q.e.d.

                                                                                                                                   

Comments

Alternative zur Induktion: Da immer eine von drei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen durch drei teilbar ist, gilt
\(n^3+2n=\underbrace{n(n+1)(n+2)}_{\in3\mathbb Z}-\underbrace{3n^2}_{\in3\mathbb Z}\in3\mathbb Z\).

Answer 1

Ich nehme mal an du hast richtig aus multipliziert.

Dann sieht es soweit richtig aus.