Teiler. Sind folgende Aussagen wahr? Bsp. a) Wenn a|c, dann gilt a|(b*c)

Question

 Seien a, b und c ganze Zahlen. Sind folgende Aussagen wahr? Begründen Sie mit Hilfe der Definition.

a)   Wenn a|c, dann gilt a|(b*c)

b)   Wenn a|b und a|c, dann gilt a|(b+c)

c)   Wenn a|b und b|a, dann ist a=b

d)   Wenn a|b und b|c, so gilt auch a|c

Answer 1

a)

Die Aussage ist wahr.

Sei \(a\mid c\). Dann gibt es eine ganze Zahl \(x\in \mathbb{Z}\) mit \(c = x\cdot a\). Dann ist \[b\cdot c = b\cdot (x\cdot a)=\underbrace{(b\cdot x)}_{\in\mathbb{Z}}\cdot a,\] so dass dann \(a \mid (b\cdot c)\) ist.

b)

Die Aussage ist wahr.

Sei \(a\mid b\) und \(a\mid c\). Dann gibt es ganze Zahlen \(x, y\in \mathbb{Z}\) mit \(b = x\cdot a\) und \(c = y\cdot a\). Dann ist \[b+c = x\cdot a + y\cdot a=\underbrace{(x+y)}_{\in\mathbb{Z}}\cdot a,\] so dass dann \(a \mid (b+ c)\) ist.

c)

Die Aussage ist nicht unbedingt wahr.

Gegenbeispiel:

Betrachte die ganzen Zahlen a = -1 und b = 1. Es gibt \(x = -1\in\mathbb{Z}\) mit \[b = 1 = (-1)\cdot(-1) = x\cdot a \quad\text{ und }\quad a = -1 = (-1)\cdot 1 = x \cdot b,\] so dass dann \(a \mid b\) und \(b\mid a\) ist. Jedoch ist \(a = -1 \ne 1 = b\).

b)

Die Aussage ist wahr.

Sei \(a\mid b\) und \(b\mid c\). Dann gibt es ganze Zahlen \(x, y\in \mathbb{Z}\) mit \(b = x\cdot a\) und \(c = y\cdot b\). Dann ist \[c = y\cdot b = y\cdot (x\cdot a) =\underbrace{(y\cdot x)}_{\in\mathbb{Z}}\cdot a,\] so dass dann \(a \mid c\) ist.

Answer 2

Es gibt unterschiedliche Definitionen von |. In jedem Falle gilt in der Grundmenge ℕ, dass alle Aussagen wahr sind.

a)  Wenn a|c, dann gilt a|(b*c) wahr
b)  Wenn a|b und a|c, dann gilt a|(b+c) wahr
c)  Wenn a|b und b|a, dann ist a=b wahr
d)  Wenn a|b und b|c, so gilt auch a|c wahr

In ℤ ist c nicht immer wahr.

Comments

Oh. Sorry. Ich habe gerade "Teiler" in der Frage präzisiert. Hoffe, dass deine Antwort dazu passt.