a)
Die Aussage ist wahr.
[spoiler]
Sei \(a\mid c\). Dann gibt es eine ganze Zahl \(x\in \mathbb{Z}\) mit \(c = x\cdot a\). Dann ist \[b\cdot c = b\cdot (x\cdot a)=\underbrace{(b\cdot x)}_{\in\mathbb{Z}}\cdot a,\] so dass dann \(a \mid (b\cdot c)\) ist.
[/spoiler]
b)
Die Aussage ist wahr.
[spoiler]
Sei \(a\mid b\) und \(a\mid c\). Dann gibt es ganze Zahlen \(x, y\in \mathbb{Z}\) mit \(b = x\cdot a\) und \(c = y\cdot a\). Dann ist \[b+c = x\cdot a + y\cdot a=\underbrace{(x+y)}_{\in\mathbb{Z}}\cdot a,\] so dass dann \(a \mid (b+ c)\) ist.
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c)
Die Aussage ist nicht unbedingt wahr.
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Gegenbeispiel:
Betrachte die ganzen Zahlen a = -1 und b = 1. Es gibt \(x = -1\in\mathbb{Z}\) mit \[b = 1 = (-1)\cdot(-1) = x\cdot a \quad\text{ und }\quad a = -1 = (-1)\cdot 1 = x \cdot b,\] so dass dann \(a \mid b\) und \(b\mid a\) ist. Jedoch ist \(a = -1 \ne 1 = b\).
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b)
Die Aussage ist wahr.
[spoiler]
Sei \(a\mid b\) und \(b\mid c\). Dann gibt es ganze Zahlen \(x, y\in \mathbb{Z}\) mit \(b = x\cdot a\) und \(c = y\cdot b\). Dann ist \[c = y\cdot b = y\cdot (x\cdot a) =\underbrace{(y\cdot x)}_{\in\mathbb{Z}}\cdot a,\] so dass dann \(a \mid c\) ist.
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