frage zur konvexen hülle

Question

Hallo die Aufgabe lautet so :

Es sei M ⊆ R eine endliche Menge und K die konvexe Hulle von M. Zeigen Sie,
dass K das abgeschlossene Intervall mit Endpunkten min(M) und max(M) ist.

ich habe mal probiert :

Wenn also k=conv(m)=[min(M),max(M)] sein soll muss ich zwei Dinge zeigen .
1)min(M),max(M) liegt in K
2) Für alle Elemente k aus K gilt k≤max(M),min(M)≤k

zu 1) ki aus K λ1∗k1+...+λ∗km aus K wenn λ1+..+λk=1 λi≥1,i=1...m

dann bezeichne ich min(m)=kj,max(m)=kl und es gilt : kj=0∗k1+..1∗kj+..0∗km,kl=0∗k1+..1∗kj+..0∗km daher beide aus K .

zu 2) es gilt weil kj=min(m) : kj≤k ,kl=max(m) :k≤kl
daher : kj=0∗k1+..1∗kj+..0∗km≤λ1∗k1+...+λ∗km≤kl=0∗k1+..1∗kj+..0∗km

daher kj minimum in K und kl maximum in K . Weil immer Gilt M⊆conv(m)=K liegen die Restlichen elemente von M auch in K und zwischen kj und kl.
ist das so in Ordnung?

Answer 1

Abgesehen von deiner etwas eigenwilligen Unterscheidung in m und M

( z.B. bei conv(m)=[min(M),max(M)]  und

weil kj=min(m) : kj≤k ,kl=max(m) :k≤kl  ) (Ich hätte hier immer M genommen, den


m ist ja die Mächtigkeit von M )sehe ich keine Bedenken.

Comments

Hallo und danke fürs korrigieren .

Das kleine m , war nur ein Schlampigkeitsfehler beim schreiben ^^

ich habe noch eine weitere frage die mit dieser Aufgabe zu tun hat :

wobei hier nun die Aufgabe 13 , die Aufgabe in der Frage hier sein soll .

Ich habe das so begonnen :

Weil M endlich und ⊆ℝ ist gibt es in M ein Maximum und Minimum sodass P=conv(M)=[min(M),max(M]

sei nun x∈E∩P dh x∈E und x∈P , dh x sei nun das Intervall [a,b]⊆P , dann gibt es die Strecke Sab die wegen der Konvextiät der konvexen Hülle zur gänze in dem Schnittbereich von E∩P liegt .

Weil dieser nun eben nicht leer ist , kann auch der Schnitt E∩Sab nicht leer sein .

liege ich da richtig?