Frage zu Bild einer linearen Abbildung

Question

Es ist eine Abbildung f: ℝ⁴ --->ℝ³  gegeben, 
Ich habe zuerst das Bild berechnet, also ⟨f(e1),f(e2),f(e3),f(e4)⟩ Ich soll jetzt eine Basis des Bildes angeben. Die Dimension der Basis soll 3 sein. ich würde mir ja jetzt einfach 3 linear unabhängige Vektoren aus ⟨ ⟩ rausnehmen. Nur ist es ein ziemlicher Aufwand dies zu machen und wenn die erste Kombi, die man versucht linear abhängig ist, dann verschlingt das in der Klausur unnötig Zeit.Meine Dozentin hat in den Lösungen geschrieben, dass man einfach e1, e2, e3 als eine Basis nimmt...darf ich das einfach so machen? Ich meine dann könnte ich es ja immer so machen, dass ich einfach Standardvektoren als Basis angebe bei der Basis des Bildes????

Answer 1

Du kannst das so machen, wenn du weisst, dass der ganze R^3 rauskommen muss. D.h., wenn  3 der vier Vektoren, die du berechnet hast, linear unabhängig sind. Prüfe das und schreibe dann direkt B={e1, e2, e3} hin.

Du kannst es auch machen, wenn du z.B. weisst, dass f surjektiv ist oder eben, wenn du weisst, dass die Dimension des Bildes 3 ist. 

Comments

Ok, danke. Bei einer anderen Linearen Abbildung ist das Bild ⟨ (1,2,2,-1), (2,1,-3,-5), (1,5,9,-1) ⟩

Ich soll jetzt eine Basis angeben und weiß, dass 2 Vektoren linear unabhängig sind, also die Dimension der Basis muss 2 sein. Kann ich jetzt einfach (1,0,0,0), (0,1,0,0) als Basis nehmen? Irgendwie wäre das komisch, da die letzten beiden Komponenten dann ja immer 0 wären bei jeder linearkombination

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"Kann ich jetzt einfach (1,0,0,0), (0,1,0,0) als Basis nehmen? Irgendwie wäre das komisch, da die letzten beiden Komponenten dann ja immer 0 wären bei jeder linearkombination "

Richtig, das geht hier nicht so einfach. Du kannst aber einfach Vektoren nehmen, die gegeben sind. Einfach nur linear unabhängige.