sup( f(A) ) = f( sup(A) )

Question

ich finde bei folgender Aufgabe keinen Ansatz.

Α ⊂ ℝ und Α ist eine nach oben beschränkte Menge

ƒ : ℝ → ℝ  eine monoton wachsende stetige Funktion

Zu zeigen:   Sup ƒ (Α) = ƒ ( Sup Α )

Answer 1

Gegenbeispiel:A = [ 0 ;1 [  ist nach oben beschränkt

  f(x) = x ist stetig und mon. wachsend.

sup(A) = 1  aber f( sup (A) ) ist nicht definiert,

kann also nicht gleich irgendwas sein.

Antwort ist falsch, siehe Kommentare !

Comments

Hi,

also mit A = [ 0 ;1 [ meinst du 0 ≤ x < 1? {Kenne nur die Schreibweise [0,1) }
Falls sup(A) = 1 und f(x) = x, dann wäre 1 nicht in der Menge A aber f(1) = 1

Ah okay, wenn man jeden Wert der Menge A in die Funktion f(x) einsetzt, würde man trotzdem
nicht auf f (sup(A)) = 1 kommen.

Gutes Gegenbeispiel, danke.

Ich hatte gehofft, dass es Sätze oder Definitionen gibt, die das widerlegen...

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f: ℝ → ℝ. f ist immer definiert.

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Oh ja, ist hatte Definitionsbereich A gedacht.

Wer lesen kann ist klar im Vorteil.

Unter dieser Vor. f: ℝ → ℝ.

wird der Satz wohl stimmen.

Beweisidee fehlt mir noch.

Answer 2

ich finde bei folgender Aufgabe keinen Ansatz.

Ich kann Dir einen spendieren, geht ganz systematisch.

Laut Voraussetzung existiert $\sup A$. Da das Supremum eine obere Schranke ist, folgt $A\le\sup A$. (Die Ungleichung ist elementweise zu verstehen.)

Laut naechster Voraussetzung ist $f$ wachsend, woraus $f(A)\le f(\sup A)$ folgt, also auch $\sup f(A)\le f(\sup A)$, denn das Supremum ist die kleinste obere Schranke.

Die letzte Voraussetzung besagt, dass $f$ stetig ist. Damit ist der Fall $\sup f(A)<f(\sup A)$ noch auszuschliessen. Die Ausfuehrung dieses Punktes mit dem Zwischenwertsatz ueberlasse ich Dir, denn Du wolltest ja nur einen "Ansatz." :)

Comments

danke für die Antwort.

dein Ansatz am Anfang ist einfach zu verstehen und hilfreich...
- weil A nach oben beschränkt, existiert sup(A)
- A ≤ sup(A), laut Def. vom Sup
- weil f wachsend, gilt f(A) ≤ f(supA)
- supf(A) ≤ f(supA), da Sup kleinste obere Schranke

Mit dem Zwischenwertsatz kann ich doch aber nur zeigen, dass ein s=f(x) für
f(a) ≤ s ≤ f(b) im Intervall [a,b] existiert. Sollte ich jetzt für a und b supf(A) und f(supA) einsetzen, um zeigen zu können, dass supf(A) < f(supA) nicht sein kann?

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Wenn $\sup f(A)<f(\sup A)$, dann hat $f(A)$ kleinere obere Schranken als $f(\sup A)$, d.h. es gibt ein $\eta$ mit $f(A)\le\eta<f(\sup A)$. Das $\eta$ ist ein Zwischenwert von $f$. Leite daraus einen Widerspruch zur Definition von $\sup A$ her.

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danke für den Hinweis.

Ich kriege den Widerspruch bestimmt schon hin...fehlt ja nicht mehr viel :)