Zeigen Sie, dass sup μn für ein äußeres Maß ist

Question

Aufgabe:

Seien \( \mu_{n}: \mathcal{P}\left(\mathbb{R}^{N}\right) \rightarrow[0, \infty], n \in \mathbb{N} \), äußere Maße. Zeigen Sie, dass dann auch \( \sup _{n \in \mathbb{N}} \mu_{n}: \mathcal{P}\left(\mathbb{R}^{N}\right) \rightarrow[0, \infty] \) gegeben durch
\( \left(\sup _{n \in \mathbb{N}} \mu_{n}\right)(A):=\sup _{n \in \mathbb{N}} \mu_{n}(A) \quad \text { für } A \subset \mathbb{R}^{N} \)
ein äußeres Maß ist.

Problem/Ansatz:

Ich habe große Probleme gegebene Aufgabe zu zeigen. Mein bisheriger Ansatz wäre der, dass Problem auf folgende Überlegung umzuleiten:

\( \max \left\{\mu_{1}, \mu_{2}\right\}(A):=\max \left\{\mu_{1}(A), \mu_{2}(A)\right\} \quad \text { für } A \subset \mathbb{R}^{N} \)
ist ein äußeres Maß (weiter komme ich aber nicht).

Grundsätzlich muss ja folgendes dann erfüllt sein:
• μ(∅) = 0
• Monotonie
• Subadditivität

Answer 1

Leere Menge: Ist klar.

Monotonie: Ist \( A \subset B\) so gilt \( \mu _{ n} ( A) \leqslant \mu _{ n} ( B) \) für alle \( n\), also gilt insbesondere
\(\begin{aligned} \sup_{ n\geqslant 1} \mu _{ n} ( A) \leqslant \sup_{ n\geqslant 1} \mu _{ n} ( B) \end{aligned}\)
Das ist eine allgemeine Supremumseigenschaft: Ist \( ( x_{ n} ) _{ n\geqslant 1} \) eine Folgen mit \( x_{ n} \leqslant c \) für alle \( n\geqslant 1\)
so gilt auch
\(\begin{aligned} \sup_{ n\geqslant 1} x_{ n} \leqslant c \end{aligned}\)
(wenn dir das nicht klar ist, beweise es am besten mittels eines sehr kurzen Widerspruchbeweises).

Sigma-subadditivität: Sei \( ( A_{ j} )_{ j\geqslant 1}  \) eine Folge von Mengen, dann gilt für jedes \( n\geqslant 1\)
\(\begin{aligned} \mu _{ n} \biggl( \bigcup_{ j\geqslant 1}^{ } A_{ j} \biggr) \leqslant \sum_{ j = 1}^{\infty} \mu _{ n} ( A_{ j} ) .\end{aligned}\)
Wir wenden das Supremum auf beiden Seiten an (genau wie oben) und erhalten
\(\begin{aligned} \sup_{ n\geqslant 1} \mu _{ n} \biggl( \bigcup_{ j\geqslant 1}^{ } A_{ j} \biggr) &\leqslant \sup_{ n\geqslant 1} \sum_{ j = 1}^{\infty} \mu _{ n} ( A_{ j} ) \\ &= \sup_{ n\geqslant 1} \sup_{ m\geqslant 1} \sum_{ j = 1}^{m} \mu _{ n} ( A_{ j} ) \\ & =\sup_{ m\geqslant 1} \sup_{ n\geqslant 1} \sum_{ j = 1}^{ m} \mu _{ n} ( A_{ j} )  \\ &\leqslant \sup_{ m\geqslant 1} \sum_{ j = 1}^{ m} \sup_{ n\geqslant 1} \mu _{ n} ( A_{j } ) = \sum_{ j = 1}^{\infty} \sup_{ n\geqslant 1} \mu _{ n} ( A_{ j} ) .\end{aligned}\)

Hier wurde verwendet:
1. Suprema darf man vertauschen (ein recht nützlicher Fakt, welchen es sich lohnt, kurz zu beweisen)
2. Das Supremum ist (endlich) subadditiv
3. Die Funktionen \( \mu _{ n} \) sind nicht-negativ