inf M = − sup(−M ) existens überprüfen

Question

Für eine Menge M ⊂ R definieren wir −M = {−x : x ∈ M}. Zeigen Sie dass inf M vorhanden ist genau wenn sup(−M) vorhanden ist und dass in diesem Fall

inf M = − sup(−M )

wie gehe ich hier vorran ? leider habe ich keinen Ansatz und keinerlei ideen

Answer 1

inf M = − sup(−M )

Sei a=inf M

==>   Für alle x∈M gilt a≤x und für jedes ε>0 gibt es ein x∈M mit x>a+ε.

==>  Für alle x∈M gilt -a≥-x und für jedes ε>0 gibt es ein x∈M mit -x<-a-ε.

Jedes -x∈M ist ja zugleich ein y mit y∈-M, also x∈M <=>  y∈-M

==>  Für alle y∈-M gilt -a≥y und für jedes ε>0 gibt es ein y∈-M mit  y<-a-ε.

==>  -a= sup(-M) 

==>   a = - sup ( -M)   q.e.d.