Wie kann ich aus a) folgern dass inf(−M)= -sup(M)?

Question

Aufgabe:

Sei a > 0 und M ⊆ R eine nichtleere nach oben beschränkte Teilmenge und
−M := {x ∈ R : −x ∈ M},   aM := {ax : x ∈ M}.
a) Zeigen Sie: −M ist nach unten beschränkt und aM ist nach oben beschränkt.
b) Folgern Sie mit Hilfe von a), dass sup(M) existiert und inf(−M) = − sup(M) gilt.
c) Folgern Sie mit Hilfe von a), dass sup(aM) existiert und sup(aM) = a sup M gilt.

Problem/Ansatz:

Ansatz: a) zu zeigen: -M hat ein Infimum und aM ein Supremum

Wie kann ich aus a) folgern dass inf(−M) = − sup(M) und sup(aM) = a sup M?

zu b) Kann man verwenden, dass -inf(-M) = sup(M), indem man mit minus 1 auf beiden Seiten multipliziert?

Answer 1

M ⊆ R eine nichtleere nach oben beschränkte Teilmenge

Sei s eine ober Schranke von M.

a) Zeigen Sie: −M ist nach unten beschränkt und aM ist nach oben beschränkt.

Gib unter Verwendung von s eine untere Schranke von -M und eine obere Schranke von aM an.

dass sup(M) existiert

Das folgt aus der Vollständigkeit von ℝ.

inf(−M) = − sup(M)

Sei s = sup(M).

Gib unter Verwendung von s das Infimum von -M an.

Kann man verwenden, dass -inf(-M) = sup(M), indem man mit minus 1 auf beiden Seiten multipliziert?

Nur wenn du vorher gezeigt hast, dass -inf(-M) = sup(M) ist. Dazu musst du aber erst ein mal begründen, warum -inf(-M) überhaupt existiert.