sup( f(A) ) = f( sup(A) )

Question

ich finde bei folgender Aufgabe keinen Ansatz.

Α ⊂ ℝ und Α ist eine nach oben beschränkte Menge

ƒ : ℝ → ℝ  eine monoton wachsende stetige Funktion

Zu zeigen:   Sup ƒ (Α) = ƒ ( Sup Α )

Answer 1

Gegenbeispiel:A = [ 0 ;1 [  ist nach oben beschränkt

  f(x) = x ist stetig und mon. wachsend.

sup(A) = 1  aber f( sup (A) ) ist nicht definiert,

kann also nicht gleich irgendwas sein.

Antwort ist falsch, siehe Kommentare !

Comments

Hi,

also mit A = [ 0 ;1 [ meinst du 0 ≤ x < 1? {Kenne nur die Schreibweise [0,1) }
Falls sup(A) = 1 und f(x) = x, dann wäre 1 nicht in der Menge A aber f(1) = 1

Ah okay, wenn man jeden Wert der Menge A in die Funktion f(x) einsetzt, würde man trotzdem
nicht auf f (sup(A)) = 1 kommen.

Gutes Gegenbeispiel, danke.

Ich hatte gehofft, dass es Sätze oder Definitionen gibt, die das widerlegen...

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f: ℝ → ℝ. f ist immer definiert.

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Oh ja, ist hatte Definitionsbereich A gedacht.

Wer lesen kann ist klar im Vorteil.

Unter dieser Vor. f: ℝ → ℝ.

wird der Satz wohl stimmen.

Beweisidee fehlt mir noch.

Answer 2

ich finde bei folgender Aufgabe keinen Ansatz.

Ich kann Dir einen spendieren, geht ganz systematisch.

Laut Voraussetzung existiert \(\sup A\). Da das Supremum eine obere Schranke ist, folgt \(A\le\sup A\). (Die Ungleichung ist elementweise zu verstehen.)

Laut naechster Voraussetzung ist \(f\) wachsend, woraus \(f(A)\le f(\sup A)\) folgt, also auch \(\sup f(A)\le f(\sup A)\), denn das Supremum ist die kleinste obere Schranke.

Die letzte Voraussetzung besagt, dass \(f\) stetig ist. Damit ist der Fall \(\sup f(A)<f(\sup A)\) noch auszuschliessen. Die Ausfuehrung dieses Punktes mit dem Zwischenwertsatz ueberlasse ich Dir, denn Du wolltest ja nur einen "Ansatz." :)

Comments

danke für die Antwort.

dein Ansatz am Anfang ist einfach zu verstehen und hilfreich...
- weil A nach oben beschränkt, existiert sup(A)
- A ≤ sup(A), laut Def. vom Sup
- weil f wachsend, gilt f(A) ≤ f(supA)
- supf(A) ≤ f(supA), da Sup kleinste obere Schranke

Mit dem Zwischenwertsatz kann ich doch aber nur zeigen, dass ein s=f(x) für
f(a) ≤ s ≤ f(b) im Intervall [a,b] existiert. Sollte ich jetzt für a und b supf(A) und f(supA) einsetzen, um zeigen zu können, dass supf(A) < f(supA) nicht sein kann?

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Wenn \(\sup f(A)<f(\sup A)\), dann hat \(f(A)\) kleinere obere Schranken als \(f(\sup A)\), d.h. es gibt ein \(\eta\) mit \(f(A)\le\eta<f(\sup A)\). Das \(\eta\) ist ein Zwischenwert von \(f\). Leite daraus einen Widerspruch zur Definition von \(\sup A\) her.

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danke für den Hinweis.

Ich kriege den Widerspruch bestimmt schon hin...fehlt ja nicht mehr viel :)