Polynomdivision Funktion - Nullstellen bestimmen

Question

Ich habe folgende Funktion:

f(x)= x^4 - 2.5x^3 + 0,5x^2 + x

Wie löse ich diese Funktion ?

Und wie kommt man auf die 4. nullstelle ?

Answer 1

Hi,

Klammere erstmal aus. Dann rate eine weitere Nullstelle und führe eine Polynomdivision durch.

f(x)= x⁴ - 2.5x³ + 0,5x² + x = x(x^3-2,5x^2+0,5x+1)

Erraten der Nullstelle x = 1

(x^3  - 5/2x^2  + 1/2x  + 1) : (x - 1)  =  x^2 - 3/2x - 1 
-(x^3  -    x^2)            
 ——————————
      - 3/2x^2  + 1/2x  + 1
    -(- 3/2x^2  + 3/2x)    
      —————————
                              - x  + 1
                            -(- x  + 1)
                   —————
                          0

Wir haben nun also f(x) = x·(x-1)·(x^2-1,5x-1)

Mit der pq-Formel finden wir außer x_(1) = 0 und x_(2) = 1 auch noch x_(3) = 2 und x_(4) = -0,5

Grüße

Comments

erstmal danke für deine Antwort :)

Da wir aber in der Schule polynomdivision ohne ausklammern rechnen habe ich deine Rechnung nicht verstanden, kannst du das auch ohne ausklammern ?

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Wie meinst Du das? Du hast ein Produkt und kannst jeden Faktor für sich anschauen.

Betrachte also

f(x) = x⁴ - 2.5x³ + 0,5x² + x = x(x³-2,5x²+0,5x+1)

nur den roten Ausdruck. Da entweder dieser oder das x 0 werden muss, soll das Produkt 0 sein.

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Nein, also ich meine das so. Wir rechnen das so, ohne ausklammern oder sowas, weshalb ich allgemein deine Rechnung nicht verstanden habe ( ist jetzt einfach nur eine Beispiel Aufgabe) kam jetzt etwas durcheinander

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Ich hatte ja gesagt, dass Du meinen Faktor als alleinstehende Funktion betrachten sollst. Dann ist das genau wie bei Dir ;).

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Ich bin nun für heute Abend weg. Falls noch was offen ist schaue ich heute Nacht rein :).

Answer 2

Die Nullstelle x=0 erhält man durch Ausklammern. Die Nullstelle x=1 erhält man durch Raten Weitere Nullstellen erhält man nach Polynomdivision (x³-2,5x²+0,5x+1):(x-1)=x²-1,5x-1 und anschließendes Lösen einer quadratischen Gleichung x²-1,5x-1=0 mit den Lösungen x=-0,5 und x=2.

Answer 3

kannst du das auch ohne ausklammern ?

Ohne ausklammern geht es auch.

x⁴ - 2.5x³ + 0,5x² + x = 0

Raten : Nullstelle x = 0
x⁴ - 2.5x³ + 0,5x² + x  : ( x - 0 ) =
x⁴ - 2.5x³ + 0,5x² + x  : x  =
Polynomdivision
x⁴ - 2.5x³ + 0,5x² + x  : x  = x³-2,5x²+0,5x+1

Raten : Nullstelle x = 1
Polynomdivision
x⁴ - 2.5x³ + 0,5x² + x  : x - 1 = x^2 - 1.5 * x - 1

x^2 - 1.5 * x - 1 = 0
x =  -0.5
x = 2