Induktion Σ_{k=1}^{n} 1/(k √k) ≤ 3 - 2/√n

Question

Rechenweg für den Induktionschluss gesucht:

$$\sum _{ k=1 }^{ n }{ \frac { 1 }{ k\sqrt { k }  }  } \quad \le \quad 3-\frac { 2 }{ \sqrt { n }  } $$

Answer 1

Wenn du die Summe bis n+1 aufteilst in die

Summe bis n und dann den letzten Summanden 

und dann die Ind. vor benutzt, kommst du auf  

Summe bis n+1   ≤

3  -   2 / √n    +   1 / ( (n+1)*√(n+1) )

und muss nun zeigen, das ist ≤   3  -   2 / √(n+1)

Also  die Ungleichung   zeigen:

3  -   2 / √n    +   1 / ( (n+1)*√(n+1) ) ≤   3  -   2 / √(n+1)

<=>   -   2 / √n    +   1 / ( (n+1)*√(n+1) ) ≤    -   2 / √(n+1)

<=>      1 / ( (n+1)*√(n+1) ) ≤     2 / √n  -   2 / √(n+1)     | * ( √n  * √(n+1) )


<=>      √n  / (n+1) )  ≤     2 √(n+1)  -   2√n        | *  ( √n  + √(n+1) )


<=>       ( √n  + √(n+1) ) √n  / (n+1) )  ≤     2 * ( √(n+1)  -   √n ) *  ( √n  + √(n+1) ) 

<=>       ( √n  + √(n+1) ) √n  / (n+1) )  ≤     2 * ( (n+1  -   n )    3.binomi.

<=>       ( √n  + √(n+1) ) √n  / (n+1) )  ≤     2

<=>       n/( n+1)  + √(n+1) √n  / (n+1)  ≤     2  beim 2. Bruch mit √(n+1) kürzen


<=>       n/( n+1)  +  √n  /√ (n+1)  ≤     2

Und zwei Brüche, die je kleiner 1 sind, haben Summe < 2.