Zu zeigen ist
$$ \sum _{ k=1 }^{ { 2 }^{ n } }{ \frac { 1 }{ k } } >\quad \frac{ n }{ 2 }, \quad \text{ Für alle n } \epsilon {N }_{0} $$
Der Anfang ist klar.
Behauptung: $$ \sum _{ k=1 }^{ { 2 }^{ n+1 } }{ \frac { 1 }{ k } } >\quad \frac { n+1 }{ 2 } $$
Mein Vorgehen soweit: $$ \sum _{ k=1 }^{ { 2 }^{ n } }{ \frac { 1 }{ k } } +\sum _{ k={ 2 }^{ n }+1 }^{ { 2 }^{ n+1 } }{ \frac { 1 }{ k } } \quad >\quad \frac { n }{ 2 } +\frac { 1 }{ 2 } $$
Da laut Induktionsvoraussetzung gilt: $$ \sum _{ k=1 }^{ { 2 }^{ n } }{ \frac { 1 }{ k } } >\quad \frac { n }{ 2 } $$ müsste jetzt doch theoretisch nurnoch zu zeigen sein, dass $$ \sum _{ k={ 2 }^{ n }+1 }^{ { 2 }^{ n+1 } }{ \frac { 1 }{ k } } \quad \ge \quad \frac { 1 }{ 2 } $$ oder? Nur wie gehts weiter?