Beweis: Σ_{k=1}^{2^n} 1/k > n/2

Question

Zu zeigen ist

$$ \sum _{ k=1 }^{ { 2 }^{ n } }{ \frac { 1 }{ k }  } >\quad \frac{ n }{ 2 }, \quad \text{ Für alle n } \epsilon {N }_{0} $$

Der Anfang ist klar.

Behauptung: $$ \sum _{ k=1 }^{ { 2 }^{ n+1 } }{ \frac { 1 }{ k }  } >\quad \frac { n+1 }{ 2 } $$

Mein Vorgehen soweit: $$ \sum _{ k=1 }^{ { 2 }^{ n } }{ \frac { 1 }{ k }  } +\sum _{ k={ 2 }^{ n }+1 }^{ { 2 }^{ n+1 } }{ \frac { 1 }{ k }  } \quad >\quad \frac { n }{ 2 } +\frac { 1 }{ 2 } $$

Da laut Induktionsvoraussetzung gilt: $$ \sum _{ k=1 }^{ { 2 }^{ n } }{ \frac { 1 }{ k }  } >\quad \frac { n }{ 2 } $$ müsste jetzt doch theoretisch nurnoch zu zeigen sein, dass $$ \sum _{ k={ 2 }^{ n }+1 }^{ { 2 }^{ n+1 } }{ \frac { 1 }{ k }  } \quad \ge \quad \frac { 1 }{ 2 } $$ oder? Nur wie gehts weiter?

Answer 1

zum Beispiel mit der folgenden Abschätzung:

$$ \sum_{k=2^n +1}^{2^{n+1}} \frac{1}{k} \geq \sum_{k=2^n +1}^{2^{n+1}} \frac{1}{2^{n+1}} $$

Gruß,