Lösungen für x mit modulo. Für welche x∈ℤ gilt x^2 + 1 ist durch 5 teilbar?

Question

Hallo 

Hab eine Aufgabe und bin mir nicht sicher, ob was ich rausbekommen habe, stimmt 
Für welche  x∈ℤ gilt x² + 1 ist durch 5 teilbar ?
Also ich hätte gesagt x² +1 = 0 mod 5 => x² = -1 mod 5 Aber -1 mod 5 = 4 => x=2    
Jedoch x kann 3,4,8.... sein wie kann ich alle lösungen haben ?
Grüße 

Answer 1

Kontrolliere mal: 

x² +1 = 0 mod 5 

x² - 4 = 0 mod 5 

(x-2)(x+2) = 0 mod 5 

x1 = 2 , x2 = -2 mod 5

x1 = 2 , x2 = 3 mod 5

L= { x Element Z | x= 2 + 5k oder x = 3 + 5m, k und m Element Z } 

Anmerkung: x kann nicht 4 sein. 

Comments

Ahh ok jetzt ist klarer :)

Aber kannst du mir noch sagen warum x = 2+5k oder x= 3+ 5m so sind oder wie du die raußbekommen hast

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x1 = 2 , x2 = 3 mod 5 

modulo 5 kannst du zu 2 und -2 jeweils beliebig oft 5 addieren. 

Das habe ich in L formal angegeben. 

Wenn die Schreibweise bekannt ist, die az0815 benutzt hat, kannst du L auch damit angeben. 

Answer 2

Dein Ansatz führt schnell zum Ziel. Ein wenig anders notiert sieht er so aus:

$$ x^2+1 \equiv x^2-4 \equiv\dots\equiv 0 \mod 5 $$Die Differenz lässt sich nun wie gewohnt faktorisieren.

Comments

Und dann wie schreibe ich alle Lösungen ? das ist mein problem jetzt

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$$ \left\{ \left. x \in \mathbb{Z} \,\right| \, x \equiv -2 \mod 5 \quad \lor \quad x \equiv 2 \mod 5 \right\} $$