Rechnen mit modulo bzw anzahl der teilmengen von x, deren Elemente druch 3 teilbar sind

Question

wir haben in der Vorlesung folgenden Satz gehabt:

Sei X eine Endliche Menge mit n Elementen, wobei n>=1. Dann ist die Anzahl der Teilmengen von X, deren Elementezahl durch 3 teilbar ist gegeben durch

∑(j =0 bis n, 3 teilt j) (n über j, )= 2ⁿ+2, n ≡0 mod 6, dh. 2 teilt n und 3 teilt n

                                                 = 2ⁿ-2, n≡3 mod 6, d.h. 2 teilt nicht n und 3 teilt n

                                                  = 2ⁿ+1, n≡ 1 mod 6, d.h. 2 teilt nicht n und 3 teilt nicht n

                                                  = 2ⁿ-1, n≡ 2 mod 6, d.h. 2 teilt n und 3 teilt nicht n

Kann mir jemand diese Rechnung erklärer vor allem das mit dem mod?

Also wenn 2 teilt n gilt kann ich das doch schreiben als n mod 2 = 0 (Rest) oder?

Comments

Also vor allem möchte ich wissen wie man immer auf das n≡3 mod 6 kommt

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Hallo. Folgendes ist mir unklar: Eine Menge mit n Elementen hat immer \(2^n\) Teilmengen. Wie können dann \(2^n+2\) davon eine durch 6 teilbare Elementanzahl haben?

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Also wir haben das genauso in der Vorlesung aufgeschrieben. Und dass eine Menge mit n Elementen 2ⁿ Teilmengen hat weiß ich auch und deshalb verstehe ich es ja nicht.

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Fehlt da vielleicht noch irgendwo "geteilt durch 3"?

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Oh ja stimmt da kommt noch überall der Faktor1/3 davor hin.

kannst du es mir dann erklären?

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∑(j =0 bis n, 3 teilt j) (n über j, )= 1/3* (2ⁿ+2), n ≡0 mod 6, dh. 2 teilt n und 3 teilt n

                                                 = 1/3* (2ⁿ-2), n≡3 mod 6, d.h. 2 teilt nicht n und 3 teilt n

                                                  = 1/3* (2ⁿ+1), n≡ 1 mod 6, d.h. 2 teilt nicht n und 3 teilt nicht n

                                                  = 1/3*

 (2ⁿ-1), n≡ 2 mod 6, d.h. 2 teilt n und 3 teilt nicht n

Kann mir jetzt jemand sagen, wie ich von dem 1/3 (2^n-2) auf n≡3 mod 6 komme?