Ableitung der Umkehrfunktion - Punkt

Question

ich hätte eine Frage zur Umkehrfunktion.

Wenn ein Term  und ein Punkt (z. B. x = 2) von einer Funktion gegeben ist. Soll durch einsetzen des Punktes die Ableitung der Umkehrfunktion bestimmt werden ? Wie geh ich da vor ?

Beispielfunktion: 4x + 4x^3

Außerdem soll überprüft werden, ob diese Fkt eine Umkehrfunktion hat.

Ich weiß eine Funktion ist nur umkehrbar wenn sie bijektiv ist. Aber wie beweise ich das?

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Falls dir weitergeholfen werden soll
dann bitte unbedingt den

ORIGINALFRAGETEXT

einstellen.

Answer 1

Zunächst mal gibt es eine Umkehrfunktion, da deine Funktion streng monoton steigend ist.

Der Funktionswert der Funktion an der Stelle 2 ist

f(2) = 40

Die Steigung an der Stelle 2 ist

f'(2) = 52

Damit hat die Umkehrfunktion an der Stelle 40 die Steigung 1/52.

Es kann sein das ich die Aufgabe falsch verstanden habe und die gegebene x-Koordinate zur Umkehrfunktion gehören sollte. Du solltest da auf jeden Fall darauf achten wie die Aufgabe ganz exakt gestellt worden ist.

Comments

Der Funktionswert der Funktion an der Stelle 2 ist

f(2) = -24

das wäre der Funktionswert für

f ( - 2 ) = -24

Wird aber wahrscheinlich nicht so wichtig sein.

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erstmal vielen Dank für die Antwort.

Die Aufgabenstellung war genau so. Es ist ein Term von einer Funktion mit einem dazugehörigen x-Wert gegeben. Durch einsetzen des x-Wertes soll die Ableitung der Umkehrfunktion bestimmt werden.

Ich versteh bloß nicht wie ich da genau vorgehe.

Die Frage a war: Gibt es überhaupt eine Umkehrfunktion zu dieser gegebenen Funktion? --> Beweis war gefragt. Also z. B. "∀ x ∈ R..."

Die Frage b war: Wie oben schon geschrieben soll man durch einsetzen des Punktes die Ableitung der Umkehrfunktion bestimmen.

Wie geht man allgemein vor ? Ich weiß, dass die Formel so ist. f(x)^-1 = 1/f´(x).

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@georgborn

Danke für den Hinweis. Irgendwie hatte ich mit 4x - 4x^3 gerechnet.

Ich habe das oben korrigiert.

Man kann sich die Funktion und Umkehrfunktion auch skizzieren:

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Wenn es uns gelingen würde aus den gegebenen
Angaben die Ableitungsfunktion u ´ der Umkehrfunktion
zu bestimmen
dann könnten wir auch die Umkehrfunktion u durch
aufleiten zu bestimmen.
Die Umkehrfunktion x = 4y + 4y³ nach y umstellen
ist uns ja bisher nicht gelungen.

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Es soll nur die Ableitung der Umkehrfunktion gebildet werden und nicht die Ableitungsfunktion der Umkehrfunktion.

Die Formel f(x)^{-1} = 1/f'(x) so ist fraglich.

Ich kenne f'(x) = 1 / f^{-1}'(f(x))

Aber letztlich sollte man nicht nur eine Formel lernen sonder lieber die Formel verstehen.

Answer 2

Gemeint ist sicherlich

Gegeben
f ( x ) = 4x + 4x³
f ´ ( x ) = 4 + 12 * x
x = 2
f ( 2 ) = 40
f ´( 2 ) = 52

P ( 2 | 40 )
Umkehrpunkt
( 40 | 2 )

Es soll die Steigung im Umkehrpunkt berechnet
werden.
Dazu macht man sich folgende Tatsache
zu Nutze
Die ( nicht bekannte ) Umkehrfunktion sei g

Die Funktion in die Umkehrfunktion eingesetzt
ergibt x.
g [ f ( x ) ] = x

( Die beiden ersten Zeilen sollen nicht gelten )

Für den auf der Umkehrfunktion liegenden
Punkt ( 40 | 2 ) ist die Steigung 1/ 52.