Vollständige Induktion Potenzen

Question

ich brauche Hilfe bei einer Aufgabe der vollständigen Induktion, da ich nicht auf das Ergebnis komme. Unzwar lautet die Aufgabe:

Zeigen Sie, das für jede natürliche Zahl n größer gleich 1 gilt:

(11^{n+1})+(12^{2n-1}) ist durch 133 teilbar.

Ich würde mich freuen, wenn mir einer dabei helfen könnte.

Comments

Schau mal hier;

https://www.mathelounge.de/434176/zeigen-sie-vollst-induktion-fur-alle-element-durch-teilbar

Der Induktionsschritt steht in einem Kommentar von Knightfire.

Answer 1

Zeige durch vollständige Induktion:

11^{n + 1} + 12^{2·n - 1} ist durch 133 teilbar.

Induktionsansatz: n = 1

11^{1 + 1} + 12^{2·1 - 1} = 133

Induktionsschritt: n --> n + 1

11^{[n + 1] + 1} + 12^{2·[n + 1] - 1}

11^{n + 2} + 12^{2·n + 1}

11·11^{n + 1} + 144·12^{2·n - 1}

11·11^{n + 1} + (11 + 133)·12^{2·n - 1}

11·11^{n + 1} + 11·12^{2·n - 1} + 133·12^{2·n - 1}

11·(11^{n + 1} + 12^{2·n - 1}) + 133·12^{2·n - 1}

Erster Summand ist nach Induktionsansatz durch 133 teilbar. Zweiter Summand enthält den Faktor 133 und ist ebenso durch 133 teilbar.

Comments

Danke für den ausführlichen Rechenweg. Jeodhc frage ich mich wie du von 2n+1 auf 2n-1, also vom 2ten auf den 3ten Schritt kommst. An diesem Punkt kann ich es leider nicht nachvollziehen

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Potenzgesetz

12^{2n + 1} = 12^{2n - 1 + 2} = 12^{2n - 1} * 12^2 = 12^{2n - 1} * 144

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ahh ok. Ich frage mich jedoch ob man es schon viel früher hätte machen können. Also im Induktionsschritt wäre das dann so:

2(n+1)-1= 2n+2-1= 2n-1+2

Wäre das dann auch so ok und wäre man eigentlich schon früher fertig?

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Ja das wäre auch möglich.

was sparst du dadurch ?

1ne zeile?

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Verwirren kann es aber. Ich danke dir auf jeden Fall für die Hilfe.