f(A∩B) ⊂ f(A) ∩ f(B)

Question

Hallo ,

Wie meine frage oben aussieht A,B ⊂ M

 f(A∩B) ⊂ f(A) ∩ f(B) ich kann bzw. weiß nicht wie soll ich nur "⊂" ohne das  f(A∩B) = f(A) ∩ f(B)

ich habe so angefangen sei y= f (A∩B) d.h ∃x ∈ A∩B so dass y=f(x) also

X∈ A und x∈ B und

 f(x) ⊂ f(A) ⊂ f(A∩B) und f(x) ⊂ f(B) ⊂ f(A∩B)

=> f(A∩B) ⊂ f(A) ∩ f(B)

So ist richtig ?? Oder brauche ich noch etwas ?

Danke

Answer 1

sei y ∈ f (A∩B) d.h ∃x ∈ A∩B so dass y=f(x) also

x∈ A und x∈ B und

 f(x) ∈ f(A)  und f(x) ∈ f(B) 


wegen  f(x) = y also  y ∈ f(A)  und y ∈ f(B) 

=> y ∈ f(A) ∩ f(B) .


Also ist  für  jedes  y ∈ f (A∩B) auch

 y ∈ f(A) ∩ f(B)    also   f(A∩B) ⊂ f(A) ∩ f(B) q.e.d.