warum ist alpha 2x der winkel 65 grad?

Question

dies sind die musterlösungen und ich verstehe nicht warum der winkel alpha 2x der angegeben winkel 65 grad sein solle bitte um erklärung.

Answer 1

Der Winkel 65° ist ein Peripheriewinkel gegenüber der Strecke \(AB\) wie folgende Skizze zeigt.

Der blaue Winkel \(APB\) bei \(P\) hat immer den Wert 65° egal wo sich der Punkt \(P\) auf dem Kreisbogen befindet. Zur Veranschaulichung habe ich Dir die Position \(P\prime\) eingezeichnet. Der gelbe Winkel ist der zugehörige Mittelpunktswinkel \(AMB\) und hat demnach den doppelten Wert - also 130°.

Und das gilt unabhängig von der Lage der Punkte \(A\) und \(B\) auf dem Kreis.

Da die Dreieck \(BPM\) und \(PAM\) gleichschenklig sind, sind ihre Basiswinkel gleich groß und folglich ist die Summe der grünen Winkel gleich dem blauen Winkel - dieser sei \(\varphi\). Die Winkelsumme im Dreieck \(ABP\) ist 180° folglich ist die Summe der roten \(=180°-2\cdot \varphi\). Und der gelbe Mittelpunktswinkel ist auf Grund der Winkelsumme im Dreieck \(ABM\) \(=180°- \sum{ rot}=180°-180°+2\varphi=2\varphi\).

Gruß Werner

Answer 2

Das ist der Satz vom Umfangswinkel (Peripheriewinkel):

Der Mittelpunktswinkel (Zentriwinkel) ist immer doppelt so groß wie der Umfangswinkel über dem gleichen Kreisbogen.

Comments

okay aber warum ist dieser winkel ein peripheriwinkel, also ich dachte für einen peripheriwinkel müssen die sehnen an den jeweiligen enden eines halbkreises enden?